(7 pontos) Uma empresa regula sua máquina de empacotar café para colocar, em média 1000 g em cada saco. Supondo que a máquina empacota segundo uma distribuição normal com variância de 36 gramas
ii)
iii)
iv)
v)
vi) ()
b) Qual o valor da estatística do teste?
i)( ) 0,8289
ii)( ) 0,8352
iii)( ) -1,3636
iv)( ) 0,8333
v)( ) 2,5
vi)( ) 0,5544
c) Qual é o valor-
associado ao teste?
i)( ) 0,0062
ii)( ) 0,9938
iii)( ) 0,1727
iv)( ) 0,0124
v)( ) 0,9137
vi)( ) 0,0418
d) Pode-se concluir que:
i) ( ) Não há indícios de que a máquina encontra-se desregulada ao nível de
de significância;
ii) ( ) A máquina encontra-se regulada ao nível de
de significância;
iii) ( ) Não há indícios de que a máquina encontra-se desregulada ao nível de
de significância;
iv) ( ) A máquina encontra-se regulada ao nível de
de significância;
v) ( ) Não há indícios de que a máquina encontra-se desregulada ao nível de
de significância;
vi) ( ) n.d.r.a
i)( ) 0,8289
ii)( ) 0,8352
iii)( ) -1,3636
iv)( ) 0,8333
v)( ) 2,5
vi)( ) 0,5544
c) Qual é o valor-
i)( ) 0,0062
ii)( ) 0,9938
iii)( ) 0,1727
iv)( ) 0,0124
v)( ) 0,9137
vi)( ) 0,0418
d) Pode-se concluir que:
i) ( ) Não há indícios de que a máquina encontra-se desregulada ao nível de
ii) ( ) A máquina encontra-se regulada ao nível de
iii) ( ) Não há indícios de que a máquina encontra-se desregulada ao nível de
iv) ( ) A máquina encontra-se regulada ao nível de
v) ( ) Não há indícios de que a máquina encontra-se desregulada ao nível de
vi) ( ) n.d.r.a
Passo 1
O enunciado pede realizar um teste de hipóteses para verificar se a máquina está regulada (ou seja, se a média do peso por saco é igual ao valor pretendido). As informações fornecidas são:
(variância populacional conhecida),
(tamanho da amostra),
(média amostral),
(desvio-padrão amostral, fornecido mas não necessário porque
é conhecida).
As perguntas do exercício são:
a) escolher, entre as alternativas dadas, as hipóteses nula e alternativa;
b) determinar o valor da estatística do teste (entre as alternativas dadas);
c) determinar o valor- associado ao teste (entre as alternativas dadas);
d) decidir qual das conclusões (entre as alternativas dadas) é correta, com base nos resultados anteriores.
As perguntas do exercício são:
a) escolher, entre as alternativas dadas, as hipóteses nula e alternativa;
b) determinar o valor da estatística do teste (entre as alternativas dadas);
c) determinar o valor-
d) decidir qual das conclusões (entre as alternativas dadas) é correta, com base nos resultados anteriores.
Passo 2
Escolha das hipóteses: devemos escrever as hipóteses sobre o parâmetro populacional que interessa, que é a média
. A empresa deseja saber se a máquina está regulada para colocar, em média,
g por saco. Portanto a hipótese nula é que a média populacional é
(a máquina está regulada) e a alternativa é que a média é diferente de
(a máquina está desregulada). Note que não faz sentido colocar
nas hipóteses, pois
é estatística amostral (um número observado), enquanto a hipótese deve ser sobre o parâmetro
. A alternativa correta entre as dadas é:
que corresponde à alternativa iv).]
Passo 3
Escolha da estatística de teste e porquê: como a variância populacional é conhecida (
), usamos o teste-z para a média. A estatística de teste é a padronização da média amostral:
onde
é a média amostral (
),
é o valor sob
(
),
é o desvio-padrão populacional (
),
é o tamanho da amostra (
).
Explico cada parte: o numerador é a diferença observada entre a média amostral e a média hipotética; o denominador
é o erro-padrão da média — ele mede a variabilidade esperada de
em torno de
. Ao dividir, obtemos uma estatística com distribuição aproximada padrão normal sob
.
Explico cada parte: o numerador
Passo 4
Cálculo numérico da estatística:
Calcule .
Calcule o erro-padrão:
Calcule
Calcule o erro-padrão:
Agora a estatística:
Portanto o valor da estatística é
, que corresponde à alternativa v) das opções de b).
Passo 5
Cálculo do valor-
: como a hipótese alternativa é bilateral (
), o valor-
é duas vezes a probabilidade de observar valor absoluto da estatística igual ou maior que o observado sob
:
onde
é a função de distribuição acumulada da Normal padrão. Usando
e a tabela da Normal padrão sabemos que
. Logo
Portanto o valor-
é aproximadamente
, correspondente à alternativa iv) das opções de c).
Passo 6
Interpretação e conclusão (decisão do teste): a regra de decisão é rejeitar
se o
-valor for menor que o nível de significância
. Aqui obtivemos
.
Compare com os níveis citados nas alternativas:
Compare com os níveis citados nas alternativas:
- Para
( ): ⇒ rejeitamos . - Para
( ): ⇒ rejeitamos . - Para
( ): ⇒ rejeitamos . - Para
( ): ⇒ rejeitamos . - Para
( ): ⇒ rejeitamos .
Rejeitarsignifica que há evidências de que a média não é g — isto é, há indícios de que a máquina está desregulada. Agora compare com as alternativas dadas em d): todas as alternativas que afirmam “Não há indícios …” ou “A máquina encontra-se regulada …” são incompatíveis com nosso resultado (porque para todos os níveis citados nós rejeitamos ). Portanto nenhuma das alternativas i) a v) é correta; a alternativa correta é vi) n.d.r.a (não deu resposta adequada).
Resposta
a) iv)\
b) v)\
c) iv)\
d) vi)]
c) iv)\
d) vi)]