(7 pontos) Uma empresa regula sua máquina de empacotar café para colocar, em média 1000 g em cada saco. Supondo que a máquina empacota segundo uma distribuição normal com variância de 36 gramas ^{2}\) e que uma amostra aleatória de 9 pacotes forneceu \(\bar{X}=1005\) e \(S(X)=11\). Após um período de funcionamento, deseja-se saber se a máquina encontra-se regulada, e para isto pretende-se realizar um teste de hipóteses. Pergunta-se: a) As hipóteses nula e alternativa para este teste são: i) \((\quad) \begin{cases}H_{0}: & \mu=1005 \\\ H_{1}: & \mu \neq 1005\end{cases}
ii) (\quad) \begin{cases}H_{0}: & \mu \neq 1000 \\\ H_{1}: & \mu=1000\end{cases}
iii) (\quad) \begin{cases}H_{0}: & \bar{X}=1005 \\\ H_{1}: & \bar{X} \neq 1005\end{cases}
iv) (\quad) \begin{cases}H_{0}: & \mu=1000 \\\ H_{1}: & \mu \neq 1000\end{cases}
v) (\quad) \begin{cases}H_{0}: & \bar{X} \neq 1005 \\\ H_{1}: & \bar{X}=1005\end{cases}
vi) () \begin{cases}H_{0}: & \bar{X}=1000 \\\ H_{1}: & \bar{X} \neq 1000\end{cases}
b) Qual o valor da estatística do teste?
i)( ) 0,8289
ii)( ) 0,8352
iii)( ) -1,3636
iv)( ) 0,8333
v)( ) 2,5
vi)( ) 0,5544
c) Qual é o valor- p associado ao teste?
i)( ) 0,0062
ii)( ) 0,9938
iii)( ) 0,1727
iv)( ) 0,0124
v)( ) 0,9137
vi)( ) 0,0418
d) Pode-se concluir que:
i) ( ) Não há indícios de que a máquina encontra-se desregulada ao nível de 17,27 \% de significância;
ii) ( ) A máquina encontra-se regulada ao nível de 5 \% de significância;
iii) ( ) Não há indícios de que a máquina encontra-se desregulada ao nível de 10 \% de significância;
iv) ( ) A máquina encontra-se regulada ao nível de 2 \% de significância;
v) ( ) Não há indícios de que a máquina encontra-se desregulada ao nível de 4,18 \% de significância;
vi) ( ) n.d.r.a

Passo 1

O enunciado pede realizar um teste de hipóteses para verificar se a máquina está regulada (ou seja, se a média do peso por saco é igual ao valor pretendido). As informações fornecidas são:
\sigma^{2}=36 (variância populacional conhecida),
n=9 (tamanho da amostra),
\bar{X}=1005 (média amostral),
S(X)=11 (desvio-padrão amostral, fornecido mas não necessário porque \sigma é conhecida).
As perguntas do exercício são:
a) escolher, entre as alternativas dadas, as hipóteses nula e alternativa;
b) determinar o valor da estatística do teste (entre as alternativas dadas);
c) determinar o valor- p associado ao teste (entre as alternativas dadas);
d) decidir qual das conclusões (entre as alternativas dadas) é correta, com base nos resultados anteriores.

Passo 2

Escolha das hipóteses: devemos escrever as hipóteses sobre o parâmetro populacional que interessa, que é a média \mu. A empresa deseja saber se a máquina está regulada para colocar, em média, 1000 g por saco. Portanto a hipótese nula é que a média populacional é \mu=1000 (a máquina está regulada) e a alternativa é que a média é diferente de 1000 (a máquina está desregulada). Note que não faz sentido colocar \bar{X} nas hipóteses, pois \bar{X} é estatística amostral (um número observado), enquanto a hipótese deve ser sobre o parâmetro \mu. A alternativa correta entre as dadas é:
\begin{cases} H_{0}: & \mu=1000\\[4pt] H_{1}: & \mu\neq 1000 \end{cases}
que corresponde à alternativa iv).]

Passo 3

Escolha da estatística de teste e porquê: como a variância populacional é conhecida ( \sigma^{2}=36), usamos o teste-z para a média. A estatística de teste é a padronização da média amostral:
Z=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}
onde
\bar{X} é a média amostral ( \bar{X}=1005),
\mu_{0} é o valor sob H_{0} ( \mu_{0}=1000),
\sigma é o desvio-padrão populacional ( \sigma=\sqrt{36}=6),
n é o tamanho da amostra ( n=9).
Explico cada parte: o numerador \bar{X}-\mu_{0} é a diferença observada entre a média amostral e a média hipotética; o denominador \sigma/\sqrt{n} é o erro-padrão da média — ele mede a variabilidade esperada de \bar{X} em torno de \mu. Ao dividir, obtemos uma estatística com distribuição aproximada padrão normal sob H_{0}.

Passo 4

Cálculo numérico da estatística:
Calcule \sigma=\sqrt{36}=6.
Calcule o erro-padrão:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{6}{\sqrt{9}}=\frac{6}{3}=2.
Agora a estatística:
Z=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{1005-1000}{2}=\frac{5}{2}=2,5.
Portanto o valor da estatística é \,2,5, que corresponde à alternativa v) das opções de b).

Passo 5

Cálculo do valor- p: como a hipótese alternativa é bilateral ( H_{1}:\mu\neq 1000), o valor- p é duas vezes a probabilidade de observar valor absoluto da estatística igual ou maior que o observado sob H_{0}:
p\text{-valor}=2\bigl(1-\Phi(|Z|)\bigr),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da Normal padrão. Usando |Z|=2,5 e a tabela da Normal padrão sabemos que \Phi(2,5)\approx 0,9938. Logo
p\text{-valor}=2\bigl(1-0,9938\bigr)=2(0,0062)=0,0124.
Portanto o valor- p é aproximadamente \,0,0124, correspondente à alternativa iv) das opções de c).

Passo 6

Interpretação e conclusão (decisão do teste): a regra de decisão é rejeitar H_{0} se o p-valor for menor que o nível de significância \alpha. Aqui obtivemos p\approx 0,0124.
Compare com os níveis citados nas alternativas:
  • Para \alpha=17,27\% ( \alpha=0,1727): p=0,0124<0,1727 ⇒ rejeitamos H_{0}.
  • Para \alpha=10\% ( \alpha=0,10): p<0,10 ⇒ rejeitamos H_{0}.
  • Para \alpha=5\% ( \alpha=0,05): p<0,05 ⇒ rejeitamos H_{0}.
  • Para \alpha=4,18\% ( \alpha=0,0418): p<0,0418 ⇒ rejeitamos H_{0}.
  • Para \alpha=2\% ( \alpha=0,02): p<0,02 ⇒ rejeitamos H_{0}.
    Rejeitar H_{0} significa que há evidências de que a média não é \,1000 g — isto é, há indícios de que a máquina está desregulada. Agora compare com as alternativas dadas em d): todas as alternativas que afirmam “Não há indícios …” ou “A máquina encontra-se regulada …” são incompatíveis com nosso resultado (porque para todos os níveis citados nós rejeitamos H_{0}). Portanto nenhuma das alternativas i) a v) é correta; a alternativa correta é vi) n.d.r.a (não deu resposta adequada).

Resposta

a) iv)\ \displaystyle \begin{cases}H_{0}:&\mu=1000\\[4pt]H_{1}:&\mu\neq1000\end{cases}
b) v)\ \,2,5
c) iv)\ \,0,0124
d) vi)]

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