(3 pontos) Resolva o modelo matemático a seguir utilizando o método gráfico:
Sujeito
:
Passo 1
O enunciado pede resolver graficamente o seguinte problema de otimização (maximização):
Maximizar
Sujeito a
Informações relevantes fornecidas:
- Objetivo: encontrar
e que maximizem . - As restrições definem uma região factível em
no primeiro quadrante. - As restrições de tipo “
” e “ ” impõem limites superiores simples em e . - A resolução deve ser pelo método gráfico (ou seja: determinar a região factível, identificar seus vértices e avaliar
nesses vértices).
Passo 2
Transformar cada desigualdade em igualdade para desenhar as retas (essas retas formam as fronteiras da região factível). Escrever as igualdades e as formas mais simples:
- Da primeira restrição:
ou seja
- Da segunda restrição:
ou seja
- Da terceira restrição:
- Da quarta restrição:
Também temos as não negatividades
e
como possíveis fronteiras.
Explicação curta (intuitiva) do porquê: no método gráfico para dois variáveis, a região factível é um polígono convexo; a solução ótima de um problema linear ocorre em um dos vértices desse polígono. Portanto, basta listar os vértices factíveis e avaliar
neles.
Passo 3
Determinar interseções relevantes entre essas retas (cada interseção é um candidato a vértice). Vou calcular sistematicamente:
Interseção das duas retas principais
e
.
Usar substituição: de
em
:
Calcular:
Então
Logo a interseção é
Passo 4
Calcular interseções das retas com as retas verticais/horizontais
e
:
- Interseção
com a segunda reta :
Ponto:
.
- Interseção
com a primeira reta :
Ponto:
.
- Interseção
com a primeira reta :
Ponto:
.
- Interseção
com a segunda reta :
Ponto:
.
Além disso, bordas óbvias:
,
(interseção
com
), e
(interseção
com
).
Passo 5
Agora verificar quais desses pontos são realmente factíveis (satisfazem todas as desigualdades). Vou testar cada candidato:
-
: trivialmente factível (todas as desigualdades satisfeitas). -
: verificar
Logo
é factível.
-
: verificar
e obviamente
. Logo
é factível.
-
: verificar com a segunda restrição:
portanto
não é factível (violação da segunda restrição).
-
: verificar as restrições numéricas:
- Primeira:
(satisfeita como igualdade). - Segunda: já que é interseção das duas retas, a segunda também é satisfeita como igualdade.
- Verificar limites:
e . Portanto é factível.
-
: verificar
e
. Logo
é factível.
-
: verificar com a primeira restrição:
portanto
não é factível.
-
: verificar
logo
é factível.
Resumo: os vértices factíveis que restaram são
Passo 6
Avaliar a função objetivo
em cada vértice factível (fazer contas exatas quando possível):
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Passo 7
Comparar os valores de
nos vértices:
O maior valor é
, obtido no ponto
.
Interpretação: como previsto pela teoria (máximo de problema linear em duas variáveis ocorre em um vértice da região factível), a solução ótima é um vértice e foi exatamente
.