1. (2,0 pontos) Seja A uma matriz de tamanho m \times n, onde m<n. Prove que A possui inversa à direita se e somente se \operatorname{rank}(A)=m. Havendo inversa à direita de A, ela é única? Por quê?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz A de tamanho m\times n com m<n, existe matriz B de tamanho n\times m tal que
A\,B = I_{m}
(seja B uma inversa à direita de A)
se, e somente se,
\operatorname{rank}(A)=m.
Depois, pergunta se essa inversa à direita, quando existe, é única.
Conteúdo necessário: definição de posto (rank), relação entre posto e existência de soluções de sistemas lineares, e construção explícita de uma inversa à direita usando fatoração ou produto A A^{T}.

Passo 2

Suponha que exista B\in\mathbb{R}^{n\times m} com
A\,B = I_{m}.
Então cada coluna de I_{m} é combinação linear das colunas de A. Como as colunas de I_{m} são as bases canônicas de \mathbb{R}^{m}, concluímos que as colunas de A geram todo \mathbb{R}^{m}. Logo o espaço coluna de A tem dimensão
\dim(\operatorname{Im}A)=m,
isto é,
\operatorname{rank}(A)=m.

Passo 3

Agora provamos o recíproco: se \operatorname{rank}(A)=m, então existe inversa à direita.
  1. \operatorname{rank}(A)=m significa que as m linhas de A são linearmente independentes em \mathbb{R}^{n}.
  2. Considere o produto A\,A^{T}. É uma matriz m\times m.
    • Como as linhas de A são independentes, \ker(A^{T})=\{0\}.
    • Logo A\,A^{T} é invertível em \mathbb{R}^{m\times m}.
  3. Defina
B \;=\; A^{T}\,(A\,A^{T})^{-1}.
Então B é n\times m e
A\,B \;=\; A\,\bigl[A^{T}(A\,A^{T})^{-1}\bigr] \;=\;\bigl[A\,A^{T}\bigr](A\,A^{T})^{-1} \;=\;I_{m}.
Portanto B é uma inversa à direita de A.

Passo 4

Pergunta final: havendo inversa à direita, ela é única?
Suponha que B e C sejam duas inversas à direita de A. Então
A\,B = I_{m} \quad\text{e}\quad A\,C = I_{m},
subtraindo as duas igualdades,
A\,(B - C) = 0_{m\times m}.
Isso mostra que cada coluna de B-C está no núcleo de A. Como m<n e \operatorname{rank}(A)=m, a dimensão de \ker(A) é n-m>0. Logo há infinitos vetores não nulos em \ker(A), e podemos escolher colunas diferentes para B-C. Assim existem infinitas inversas à direita.
Conclusão: a inversa à direita não é única quando m<n.

Resposta

A matriz A de tamanho m\times n com m<n admite inversa à direita se, e somente se, \operatorname{rank}(A)=m. Quando esta inversa existe, ela não é única, pois A tem núcleo de dimensão n-m>0, permitindo infinitas escolhas para as colunas de uma inversa à direita.

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