- (2,0 pontos) Seja
uma matriz de tamanho
, onde
. Prove que
possui inversa à direita se e somente se
. Havendo inversa à direita de
, ela é única? Por quê?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz
de tamanho
com
, existe matriz
de tamanho
tal que
(seja
uma inversa à direita de
)
se, e somente se,
se, e somente se,
Depois, pergunta se essa inversa à direita, quando existe, é única.
Conteúdo necessário: definição de posto (rank), relação entre posto e existência de soluções de sistemas lineares, e construção explícita de uma inversa à direita usando fatoração ou produto .
Conteúdo necessário: definição de posto (rank), relação entre posto e existência de soluções de sistemas lineares, e construção explícita de uma inversa à direita usando fatoração ou produto
Passo 2
Suponha que exista
com
Então cada coluna de
é combinação linear das colunas de
. Como as colunas de
são as bases canônicas de
, concluímos que as colunas de
geram todo
. Logo o espaço coluna de
tem dimensão
isto é,
Passo 3
Agora provamos o recíproco: se
, então existe inversa à direita.
-
significa que as linhas de são linearmente independentes em . -
Considere o produto
. É uma matriz . - Como as linhas de
são independentes, . - Logo
é invertível em .
- Como as linhas de
-
Defina
Então
é
e
Portanto
é uma inversa à direita de
.
Passo 4
Pergunta final: havendo inversa à direita, ela é única?
Suponha que
e
sejam duas inversas à direita de
. Então
subtraindo as duas igualdades,
Isso mostra que cada coluna de
está no núcleo de
. Como
e
, a dimensão de
é
. Logo há infinitos vetores não nulos em
, e podemos escolher colunas diferentes para
. Assim existem infinitas inversas à direita.
Conclusão: a inversa à direita não é única quando
.
Resposta
A matriz
de tamanho
com
admite inversa à direita se, e somente se,
. Quando esta inversa existe, ela não é única, pois
tem núcleo de dimensão
, permitindo infinitas escolhas para as colunas de uma inversa à direita.