- (2,0 pontos) Sejam
e
dois vetores no
. Sejam
e
dois vetores no
. Finalmente, seja
uma matriz
. Sendo
e
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado está no contexto de regressão linear em forma matricial. Temos os vetores
,
e
,
, e a matriz
de dimensão
. Sabemos que
que é a solução de mínimos quadrados, e que
O objetivo é mostrar que
Para isso usaremos álgebra matricial: substituição e propriedades de inversão e distributividade.
Passo 2
Substituímos
na expressão de
. Assim,
Passo 3
Aplicando a distributividade de
sobre a soma dentro do parêntese, obtemos
Passo 4
Usamos agora a propriedade de inversão de matrizes:
. Então
Passo 5
Para chegar ao formato desejado, basta isolar
. Subtraindo
de ambos os lados: