1. ( 2,5 pontos) Seja A uma matriz de tamanho n \times n. Suponha que a soma dos elementos de cada linha seja igual a k\left(\sum_{j=1}^{n} a_{i j}=k\right., para todo \left.i=1, \ldots, n\right). Qual é \operatorname{det}(A-k I) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz n\times n cujas linhas somam sempre k, ou seja,
\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=k \quad\text{para todo }i=1,\dots,n.
Ele pede \det(A - kI). O conteúdo principal aqui é reconhecer um autovalor de A e usar a relação entre autovalores e determinante.

Passo 2

Considere o vetor
\mathbf{u} = (1,1,\dots,1)^\top.
O produto A\mathbf{u} tem entrada i-ésima
\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\cdot1 = \sum_{j=1}^{n}a_{ij} = k.
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A\mathbf{u} = k\,\mathbf{u} \quad\Longrightarrow\quad (A - kI)\,\mathbf{u} = A\mathbf{u} - k\,\mathbf{u} = 0.

Passo 3

Como existe \mathbf{u}\neq0 tal que (A - kI)\mathbf{u}=0, a matriz A - kI é singular. Uma matriz singular tem determinante zero.

Resposta

\det(A - kI) = 0.

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