1. ( 2,0 pontos) Seja A uma matriz de tamanho n \times n. Suponha que A^{T}=-A. Qual condição deve ser satisfeit a por n para que A seja invertível? Essa condição é necessária ou suficiente (ou ambas)? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz A\in\mathbb{R}^{n\times n} tal que A^{T}=-A. Queremos saber para quais valores de n a matriz pode ser invertível, isto é, quando \det(A)\neq0. Vamos usar a propriedade de determinante de transposta e de múltiplo escalar.

Passo 2

Como \det(A^{T})=\det(A) e \det(-A)=(-1)^{n}\det(A), temos
\det(A) =\det(A^{T}) =\det(-A) =(-1)^{n}\det(A).

Passo 3

Da igualdade \det(A) = (-1)^{n}\det(A) segue que
  • Se n for ímpar então (-1)^{n}=-1, logo \det(A)=-\det(A), isto é, 2\det(A)=0 e \det(A)=0. Assim, para n ímpar A não pode ser invertível.
  • Se n for par então (-1)^{n}=1, e a igualdade não força \det(A)=0.

Passo 4

Portanto, a condição n par é necessária para que A seja invertível. Porém, ela não é suficiente, pois nem toda matriz antissimétrica de dimensão par tem determinante não nulo (por exemplo, a matriz zero faz A^{T}=-A e é singular mesmo para n par).

Resposta

A matriz A pode ser invertível somente se n for par. Essa condição é necessária, mas não é suficiente.

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