- ( 2,0 pontos) Seja
uma matriz de tamanho
. Suponha que
. Qual condição deve ser satisfeit a por
para que
seja invertível? Essa condição é necessária ou suficiente (ou ambas)? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz
tal que
. Queremos saber para quais valores de
a matriz pode ser invertível, isto é, quando
. Vamos usar a propriedade de determinante de transposta e de múltiplo escalar.
Passo 2
Como
e
, temos
Passo 3
Da igualdade
segue que
- Se
for ímpar então , logo , isto é, e . Assim, para ímpar não pode ser invertível. - Se
for par então , e a igualdade não força .
Passo 4
Portanto, a condição
par é necessária para que
seja invertível. Porém, ela não é suficiente, pois nem toda matriz antissimétrica de dimensão par tem determinante não nulo (por exemplo, a matriz zero faz
e é singular mesmo para
par).
Resposta
A matriz
pode ser invertível somente se
for par. Essa condição é necessária, mas não é suficiente.