(3 pontos) Seja o problema de valor de contorno (PVC)
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=\cos (t), t \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \\\ y(0)=-0 . a \\\ y\left(\frac{\pi}{2}\right)=-0 . b \end{array}\right.
considere n=10 e diferenças centradas para aproximação da primeira derivada.
(a) Formule, por diferenças finitas, a i-ésima equação do sistema linear que resolve o PVC acima, para i=1, \ldots, 8.
(b) Formule, por diferenças finitas, as equações para i=1 e i=9 do sistema linear que resolve o PVC acima.
(c) Monte a matriz A e o lado direito b do sistema linear que aproxima a solução do PVC acima.
(d) Resolva o sistema linear A y=b e apresente a trajetória da solução numérica e da solução exata através de um gráfico.
Passo 1
O enunciado trata de aproximar por diferenças finitas o problema de contorno
usando n=10 subintervalos (h = \tfrac{\pi/2}{10} = \tfrac{\pi}{20}) e diferenças centradas para y'. Vamos formular o sistema linear para as incógnitas y_i \approx y(t_i), i=1,\dots,9.
Passo 2
Para i=2,\dots,8 (pontos internos que não tocam diretamente as condições de contorno) usamos
Para resolver numericamente basta aplicar, por exemplo, o algoritmo de Thomas em A\,\mathbf y=\mathbf b. Em seguida, para comparar com a solução exata, nota-se que o problema exato tem solução geral