(3 pontos) Seja o problema de valor de contorno (PVC)
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=\cos (t), t \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \\\ y(0)=-0 . a \\\ y\left(\frac{\pi}{2}\right)=-0 . b \end{array}\right.
considere n=10 e diferenças centradas para aproximação da primeira derivada.
(a) Formule, por diferenças finitas, a i-ésima equação do sistema linear que resolve o PVC acima, para i=1, \ldots, 8.
(b) Formule, por diferenças finitas, as equações para i=1 e i=9 do sistema linear que resolve o PVC acima.
(c) Monte a matriz A e o lado direito b do sistema linear que aproxima a solução do PVC acima.
(d) Resolva o sistema linear A y=b e apresente a trajetória da solução numérica e da solução exata através de um gráfico.

Passo 1

O enunciado trata de aproximar por diferenças finitas o problema de contorno
\begin{cases} y''(t) - y'(t) - 2\,y(t) = \cos(t), & t\in[0,\tfrac{\pi}{2}],\\\ y(0) = -0.a,\quad y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -0.b, \end{cases}
usando n=10 subintervalos ( h = \tfrac{\pi/2}{10} = \tfrac{\pi}{20}) e diferenças centradas para y'. Vamos formular o sistema linear para as incógnitas y_i \approx y(t_i), i=1,\dots,9.

Passo 2

Para i=2,\dots,8 (pontos internos que não tocam diretamente as condições de contorno) usamos
y''(t_i)\approx \frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}, \quad y'(t_i)\approx \frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h}.
Substituindo em y''-y'-2y=\cos(t_i) e multiplicando por h^2, obtemos
\bigl(1+\tfrac h2\bigr)y_{i-1} +\bigl(-2-2h^2\bigr)y_i +\bigl(1-\tfrac h2\bigr)y_{i+1} \;=\;h^2\cos(t_i),
com h=\tfrac{\pi}{20} e t_i=i\,h.

Passo 3

Nos nós adjacentes às fronteiras ( i=1 e i=9) aparecem y_0 ou y_{10} conhecidos:
  • Para i=1:
\bigl(-2-2h^2\bigr)y_1 +\bigl(1-\tfrac h2\bigr)y_2 \;=\;h^2\cos(t_1)\;-\;\bigl(1+\tfrac h2\bigr)\,y_0,
onde y_0=y(0)=-0.a.
  • Para i=9:
\bigl(1+\tfrac h2\bigr)y_8 +\bigl(-2-2h^2\bigr)y_9 \;=\;h^2\cos(t_9)\;-\;\bigl(1-\tfrac h2\bigr)\,y_{10},
onde y_{10}=y(\tfrac{\pi}{2})=-0.b.

Passo 4

Organizando as equações de i=1 a i=9 numa forma A\,\mathbf y=\mathbf b, temos:
  • Matriz A 9\times9 tridiagonal com a = 1+\tfrac h2,\quad d = -2-2h^2,\quad c = 1-\tfrac h2nas subdiagonal, diagonal e superdiagonal, respectivamente.
  • Vetor \mathbf b=(b_1,\dots,b_9)^T com b_i = h^2\cos(t_i), \quad b_1 \leftarrow b_1 - a\,y_0, \quad b_9 \leftarrow b_9 - c\,y_{10}.

Passo 5

Para resolver numericamente basta aplicar, por exemplo, o algoritmo de Thomas em A\,\mathbf y=\mathbf b. Em seguida, para comparar com a solução exata, nota-se que o problema exato tem solução geral
y(t)=C_1e^{2t}+C_2e^{-t}-\tfrac{3}{10}\cos t-\tfrac{1}{10}\sin t,
onde C_1,C_2 são obtidos impondo y(0)=-0.a e y(\tfrac\pi2)=-0.b. Por fim plota-se, em [0,\tfrac\pi2], os pontos \{(t_i,y_i)\} e a curva y(t).

Resposta

Não é possível obter valores numéricos nem traçar o gráfico sem conhecer os dígitos a e b das condições de contorno.

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