(3 pontos) Resolva o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
com
. Utilizando os seguintes métodos
(a) Métodos de Euler,
(b) Método de Runge-Kutta de ordem 4.
(c) Cálculo o erro de ambos os métodos. Compare as soluções aproximadas encontrados com a solução exata.
(a) Métodos de Euler,
(b) Método de Runge-Kutta de ordem 4.
(c) Cálculo o erro de ambos os métodos. Compare as soluções aproximadas encontrados com a solução exata.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
com condição inicial
, e pede:
– (a) aplicar o método de Euler explícito;
– (b) aplicar o método de Runge–Kutta de ordem 4;
– (c) calcular o erro de ambas aproximações e comparar com a solução exata.
O conteúdo é Métodos Numéricos para EDO e análise de erro global.
– (a) aplicar o método de Euler explícito;
– (b) aplicar o método de Runge–Kutta de ordem 4;
– (c) calcular o erro de ambas aproximações e comparar com a solução exata.
O conteúdo é Métodos Numéricos para EDO e análise de erro global.
Passo 2
Primeiro obtemos a solução exata. A equação é separável:
integramos para achar
Como
, temos
e, portanto,
Passo 3
Método de Euler explícito com passo
. Sejam
e
. O esquema é
onde
. Logo
Iterando desde
obtemos
Passo 4
Método de Runge–Kutta 4: definimos
Como
é linear em
, a combinação final produz
onde
Assim
Passo 5
Erro em
: definindo
e
, e a solução exata
, temos
A análise de ordem mostra que o erro global de Euler é
e o de RK4 é
. Para
,
, logo
.
Resposta
(a) Pelo método de Euler explícito
(b) Pelo método de Runge–Kutta 4
(c) Erros em
:
Comparação: para o mesmo
, RK4 fornece uma aproximação muito mais precisa que Euler.