(3 pontos) Resolva o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
y^{\prime}+b y=0
com y(1)=a. Utilizando os seguintes métodos
(a) Métodos de Euler,
(b) Método de Runge-Kutta de ordem 4.
(c) Cálculo o erro de ambos os métodos. Compare as soluções aproximadas encontrados com a solução exata.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + b\,y = 0,
com condição inicial y(1)=a, e pede:
– (a) aplicar o método de Euler explícito;
– (b) aplicar o método de Runge–Kutta de ordem 4;
– (c) calcular o erro de ambas aproximações e comparar com a solução exata.
O conteúdo é Métodos Numéricos para EDO e análise de erro global.

Passo 2

Primeiro obtemos a solução exata. A equação é separável:
\frac{y'}{y} = -b
integramos para achar
\ln|y| = -b x + C \quad\Longrightarrow\quad y(x) = K e^{-b x}.
Como y(1)=a, temos K = a e^{b} e, portanto,
y_{\rm exata}(x) = a\,e^{-b(x-1)}.

Passo 3

Método de Euler explícito com passo h. Sejam x_n = 1 + n h e y_n\approx y(x_n). O esquema é
y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,y_n),
onde f(x,y)= -b\,y. Logo
y_{n+1} = y_n - b\,h\,y_n = (1 - b\,h)\,y_n.
Iterando desde y_0=a obtemos
y_n^{(E)} = a\,(1 - b\,h)^{n}.

Passo 4

Método de Runge–Kutta 4: definimos
\begin{aligned} k_1 &= f(x_n,y_n) = -b\,y_n,\\\ k_2 &= f\bigl(x_n +\tfrac h2,\;y_n + \tfrac h2\,k_1\bigr) = -b\Bigl(y_n - \tfrac{b\,h}{2}y_n\Bigr),\\\ k_3 &= f\bigl(x_n +\tfrac h2,\;y_n + \tfrac h2\,k_2\bigr),\quad k_4 = f(x_n + h,\;y_n + h\,k_3). \end{aligned}
Como f é linear em y, a combinação final produz
y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}\bigl(k_1 +2k_2 +2k_3 +k_4\bigr) = R\,y_n,
onde
R = 1 - b\,h + \frac{(b\,h)^2}{2} - \frac{(b\,h)^3}{6} + \frac{(b\,h)^4}{24}.
Assim
y_n^{(RK4)} = a\,R^n.

Passo 5

Erro em x_n: definindo y_n^{(E)} e y_n^{(RK4)}, e a solução exata y_{\rm exata}(x_n)=a\,e^{-b n h}, temos
e_n^{(E)} = y_{\rm exata}(x_n) - y_n^{(E)} = a\Bigl(e^{-b n h} - (1 - b\,h)^{n}\Bigr),
e_n^{(RK4)} = y_{\rm exata}(x_n) - y_n^{(RK4)} = a\Bigl(e^{-b n h} - R^n\Bigr).
A análise de ordem mostra que o erro global de Euler é O(h) e o de RK4 é O(h^4). Para h\to0, R = e^{-b h} + O(h^5), logo e_n^{(RK4)}\ll e_n^{(E)}.

Resposta

(a) Pelo método de Euler explícito
y_n^{(E)} = a\,(1 - b\,h)^{n}.
(b) Pelo método de Runge–Kutta 4
y_n^{(RK4)} = a\,\Bigl(1 - b\,h + \tfrac{(b\,h)^2}{2} - \tfrac{(b\,h)^3}{6} + \tfrac{(b\,h)^4}{24}\Bigr)^{n}.
(c) Erros em x_n=1+nh:
e_n^{(E)} = a\bigl(e^{-b n h} - (1 - b\,h)^{n}\bigr) = O(h), \quad e_n^{(RK4)} = a\bigl(e^{-b n h} - R^n\bigr) = O(h^4).
Comparação: para o mesmo h, RK4 fornece uma aproximação muito mais precisa que Euler.

Exercícios relacionados