1. (3,0 pontos) Seja z \equiv \max \{A, B, C, D, E\}. Imagine uma firma que atua em n mercados distintos, onde n>z. A demand a invers a do produto dess a firm a em um mercado i=1, \ldots, n é dada por p_{i}\left(q_{i}\right)=A_{i} f\left(q_{i}\right), onde A_{i}>0 é um parâmetro específico da demanda do i-ésimo mercado e q_{i} é a quantidade que a firma vende nesse mesmo mercado. Repare que f é comum a todos os mercados. A função custo da firma é dada por c(Q), onde Q \equiv q_{1}+\ldots+q_{n}. Assum a que f e c são funções duas vezes continuamente diferenciáveis. Além disso, f^{\prime}(\cdot)<0, c^{\prime}(Q)>0 e c^{\prime \prime}(Q) \geq 0. Assim, o objetivo da firma é escolher as quantidades q_{1}^{*}, \ldots, q_{n}^{*} que maximizam o seu lucro, que é dado pela seguinte função:
\pi\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)=A_{1} f\left(q_{1}\right) q_{1}+\ldots+A_{n} f\left(q_{n}\right) q_{n}-c\left(q_{1}+\ldots+q_{n}\right)
(a) (1,0 ponto) Encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma.
(b) ( 1,0 ponto) Monte o hessiano da função objetivo e explique qual condição deve ser satisfeita pelo hessiano para que as quantidades que satisfazem as condições de primeira ordem do item (a) caracterizem um ponto de máximo global estrito.
(c) (1,0 ponto) Usando o teorema da função implícita e a regra de Cramer, expresse como uma razão de determinantes o impacto de um aumento marginal em A_{z} sobre q_{z}^{*}. Qual o sinal desse impacto? Explique. Não há necessidade de calcular explicitamente os determinantes envolvidos na regra de Cramer.

Passo 1

O problema diz respeito a uma firma que atua em n mercados n>z, cuja função-objetivo (lucro) é
\pi(q_{1},\dots,q_{n})=\sum_{i=1}^{n}A_{i}\,f(q_{i})\,q_{i}\;-\;c\bigl(Q\bigr),
onde Q=\sum_{i=1}^{n}q_{i}. Aqui A_{i}>0 é o parâmetro de demanda do mercado i, f e c são C^{2}, com f^{\prime}<0, c^{\prime}>0 e c^{\prime\prime}\ge0. O objetivo é achar as quantidades q_{i}^{*} que maximizam \pi.

Passo 2

As condições de primeira ordem vêm de
\frac{\partial\pi}{\partial q_{i}} = A_{i}\bigl[f(q_{i})+q_{i}\,f^{\prime}(q_{i})\bigr]\;-\;c^{\prime}(Q)\;=\;0, \quad i=1,\dots,n.
Ou seja, para todo i deve valer
A_{i}\bigl[f(q_{i})+q_{i}\,f^{\prime}(q_{i})\bigr] = c^{\prime}(Q).

Passo 3

O Hessiano H=(H_{ij})_{i,j=1}^{n} de \pi é
H_{ii} = A_{i}\bigl[f''(q_{i})\,q_{i}+2f'(q_{i})\bigr]\;-\;c''(Q), \quad H_{ij} = -\,c''(Q)\quad(i\neq j).
Para que o ponto que satisfaz as F.O.C. seja um máximo global estrito, \pi deve ser estritamente côncava, isto é, H deve ser definida negativa. Em termos de menores principais: para cada k=1,\dots,n o k-ésimo menor principal de H deve satisfazer
(-1)^{k}\det\bigl(H_{\text{menor }k}\bigr)>0.

Passo 4

Defina
F_{i}(q_{1},\dots,q_{n};A_{1},\dots,A_{n}) = A_{i}\bigl[f(q_{i})+q_{i}f'(q_{i})\bigr]\;-\;c'\bigl(Q\bigr),
de modo que as F.O.C. são F_{i}=0. Diferenciando implicitamente em A_{z} obtém-se o sistema
\sum_{j=1}^{n} H_{ij}\,\frac{\partial q_{j}}{\partial A_{z}} \;+\;\frac{\partial F_{i}}{\partial A_{z}} =0,
onde \partial F_{i}/\partial A_{z}=0 para i\neq z e
\frac{\partial F_{z}}{\partial A_{z}} = f(q_{z})+q_{z}f'(q_{z}).
Pela regra de Cramer,
\frac{\partial q_{z}}{\partial A_{z}} =\frac{\Delta_{z}}{\det H},
sendo \Delta_{z} o determinante da matriz obtida substituindo, na coluna z de H, o vetor \bigl(-\partial F_{i}/\partial A_{z}\bigr)_{i=1}^{n}.
Como H é definida negativa, vale \det H tem sinal (-1)^{n} positivo em módulo. Por outro lado, ao substituir o vetor só há um termo não nulo em linha z, de valor -\bigl[f(q_{z})+q_{z}f'(q_{z})\bigr], e o menor principal complementar tem sinal (-1)^{n-1}. Logo \Delta_{z} tem sinal (-1)^{n-1}\times[-(f(q_{z})+q_{z}f'(q_{z}))], que é positivo porque f(q_{z})>0 e f'(q_{z})<0 mas em equilíbrio f(q_{z})+q_{z}f'(q_{z})>0. Conclui-se
\frac{\partial q_{z}}{\partial A_{z}}>0.

Resposta

(a) \displaystyle A_{i}\bigl[f(q_{i})+q_{i}f'(q_{i})\bigr]=c'(Q) para i=1,\dots,n.
(b) O Hessiano H_{ii}=A_{i}[f''(q_{i})q_{i}+2f'(q_{i})]-c''(Q), H_{ij}=-c''(Q), e para máximo global estrito H deve ser definida negativa (todos os menores principais alternam sinal: (-1)^{k}\det>0).
(c) Pela regra de Cramer \displaystyle\frac{\partial q_{z}}{\partial A_{z}} =\frac{\Delta_{z}}{\det H} e, dado o padrão de sinais de \Delta_{z} e de \det H, obtém-se \partial q_{z}/\partial A_{z}>0.

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