- (3,0 pontos) Seja
. Imagine uma firma que atua em
mercados distintos, onde
. A demand a invers a do produto dess a firm a em um mercado
é dada por
, onde
é um parâmetro específico da demanda do
-ésimo mercado e
é a quantidade que a firma vende nesse mesmo mercado. Repare que
é comum a todos os mercados. A função custo da firma é dada por
, onde
. Assum a que
e
são funções duas vezes continuamente diferenciáveis. Além disso,
,
e
. Assim, o objetivo da firma é escolher as quantidades
que maximizam o seu lucro, que é dado pela seguinte função:
(a) (1,0 ponto) Encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma.
(b) ( 1,0 ponto) Monte o hessiano da função objetivo e explique qual condição deve ser satisfeita pelo hessiano para que as quantidades que satisfazem as condições de primeira ordem do item (a) caracterizem um ponto de máximo global estrito.
(c) (1,0 ponto) Usando o teorema da função implícita e a regra de Cramer, expresse como uma razão de determinantes o impacto de um aumento marginal em
sobre
. Qual o sinal desse impacto? Explique. Não há necessidade de calcular explicitamente os determinantes envolvidos na regra de Cramer.
(b) ( 1,0 ponto) Monte o hessiano da função objetivo e explique qual condição deve ser satisfeita pelo hessiano para que as quantidades que satisfazem as condições de primeira ordem do item (a) caracterizem um ponto de máximo global estrito.
(c) (1,0 ponto) Usando o teorema da função implícita e a regra de Cramer, expresse como uma razão de determinantes o impacto de um aumento marginal em
Passo 1
O problema diz respeito a uma firma que atua em
mercados
, cuja função-objetivo (lucro) é
onde
. Aqui
é o parâmetro de demanda do mercado
,
e
são
, com
,
e
. O objetivo é achar as quantidades
que maximizam
.
Passo 2
As condições de primeira ordem vêm de
Ou seja, para todo
deve valer
Passo 3
O Hessiano
de
é
Para que o ponto que satisfaz as F.O.C. seja um máximo global estrito,
deve ser estritamente côncava, isto é,
deve ser definida negativa. Em termos de menores principais: para cada
o
-ésimo menor principal de
deve satisfazer
Passo 4
Defina
de modo que as F.O.C. são
. Diferenciando implicitamente em
obtém-se o sistema
onde
para
e
Pela regra de Cramer,
sendo
o determinante da matriz obtida substituindo, na coluna
de
, o vetor
.
Como
é definida negativa, vale
tem sinal
positivo em módulo. Por outro lado, ao substituir o vetor só há um termo não nulo em linha
, de valor
, e o menor principal complementar tem sinal
. Logo
tem sinal
, que é positivo porque
e
mas em equilíbrio
. Conclui-se
Resposta
(a)
para
.
(b) O Hessiano ,
, e para máximo global estrito
deve ser definida negativa (todos os menores principais alternam sinal:
).
(c) Pela regra de Cramer e, dado o padrão de sinais de
e de
, obtém-se
.
(b) O Hessiano
(c) Pela regra de Cramer