As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas. \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\ x & 4\end{array}\right], 1 única solução para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
Passo 1
O enunciado pede que a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix}1 & 2\\\ x & 4\end{pmatrix}
admita uma única solução para qualquer vetor \boldsymbol{b}=(b_{1},b_{2}). Isso significa que o sistema A\boldsymbol{u}=\boldsymbol{b} deve ter posto máximo (posto 2), ou seja, \det(A)\neq0.
Passo 2
Calculemos o determinante de A:
\det(A) = 1\cdot4 \;-\; 2\cdot x \;=\; 4 - 2x.
Para garantir posto 2, precisamos de
4 - 2x \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x \neq 2.
Passo 3
Basta escolher qualquer valor de x diferente de 2. Por exemplo, tomando
x = 0,
ficamos com
A = \begin{pmatrix}1 & 2\\\\ 0 & 4\end{pmatrix},
e seu determinante é
\det(A)=1\cdot4-2\cdot0=4\neq0.
Logo, o sistema tem posto 2 e, consequentemente, uma única solução para todo \boldsymbol{b}.
Resposta
Um valor conveniente é
x = 0,
que garante \det(A)=4\neq0, ou de modo geral qualquer x\neq2.