( 2 pontos) Sejam
e
transformações lineares.
a) Determine
e
.
b) Encontre
, onde
.
a) Determine
b) Encontre
Passo 1
O enunciado dá as transformações lineares
e
As perguntas são:
- Determinar
e . - Calcular a matriz
relativa à base de .
Passo 2
Lembrete prático sobre composições: se
e
, então
. Aqui
manda vetores de
para
e
manda de
para
. Logo
e
. Para calcular uma composição, primeiro aplicamos o primeiro operador indicado (à direita) e depois aplicamos o segundo (à esquerda), substituindo coordenadas passo a passo.
Passo 3
Calcular
. Seja
. Primeiro aplicamos
:
Agora aplicamos
ao resultado. Denotando
e
, temos
Substituindo
e
em termos de
:
Portanto
Passo 4
Calcular
. Seja
. Primeiro aplicamos
:
Agora aplicamos
a esse triplo; lembrando
, temos
Simplificando o primeiro componente:
Portanto
Passo 5
Agora vamos construir a matriz de
relativa à base
com
e
. Regra prática: para uma transformação linear
, a matriz
tem como
-ésima coluna as coordenadas de
expressas na base
. Ou seja, para cada
encontramos escalares
tais que
; então a coluna
é
.
Passo 6
Calcular
. Usamos a fórmula obtida:
Com
:
Agora expressamos
na base
. Procuramos
tais que
Igualando coordenadas:
e
. Substituindo
:
Logo as coordenadas de
em
são
.
Passo 7
Calcular
. Para
:
Expressamos
na base
: buscamos
com
Da primeira coordenada
. Substituindo na segunda:
Portanto as coordenadas de
em
são
.
Passo 8
Montamos a matriz
com as colunas encontradas: