( 2 pontos) Sejam T(x, y)=(2 x, x-y, y) e S(x, y, z)=(y-z, z-x) transformações lineares.
a) Determine T a S e S o T.
b) Encontre [S o T]_{B}^{B}, onde B=\{(1,-1),(0,2)\}.

Passo 1

O enunciado dá as transformações lineares
T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3,\qquad T(x,y)=(2x,\;x-y,\;y)
e
S:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\qquad S(x,y,z)=(y-z,\;z-x).
As perguntas são:
  1. Determinar T\circ S e S\circ T.
  2. Calcular a matriz [S\circ T]_{B}^{B} relativa à base B=\{(1,-1),\,(0,2)\} de \mathbb{R}^2.

Passo 2

Lembrete prático sobre composições: se S:U\to V e T:V\to W, então (T\circ S)(u)=T\big(S(u)\big). Aqui S manda vetores de \mathbb{R}^3 para \mathbb{R}^2 e T manda de \mathbb{R}^2 para \mathbb{R}^3. Logo T\circ S:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e S\circ T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2. Para calcular uma composição, primeiro aplicamos o primeiro operador indicado (à direita) e depois aplicamos o segundo (à esquerda), substituindo coordenadas passo a passo.

Passo 3

Calcular T\circ S. Seja (x,y,z)\in\mathbb{R}^3. Primeiro aplicamos S:
S(x,y,z)=(y-z,\;z-x).
Agora aplicamos T ao resultado. Denotando u=y-z e v=z-x, temos
T(u,v)=(2u,\;u-v,\;v).
Substituindo u e v em termos de x,y,z:
2u=2(y-z)=2y-2z,
u-v=(y-z)-(z-x)=y-z-z+x=x+y-2z,
v=z-x.
Portanto
(T\circ S)(x,y,z)=(2y-2z,\;x+y-2z,\;z-x).

Passo 4

Calcular S\circ T. Seja (x,y)\in\mathbb{R}^2. Primeiro aplicamos T:
T(x,y)=(2x,\;x-y,\;y).
Agora aplicamos S a esse triplo; lembrando S(a,b,c)=(b-c,\;c-a), temos
(S\circ T)(x,y)=\big((x-y)-y,\;y-2x\big).
Simplificando o primeiro componente:
(x-y)-y=x-2y.
Portanto
(S\circ T)(x,y)=(x-2y,\;y-2x).

Passo 5

Agora vamos construir a matriz de S\circ T relativa à base B=\{b_1,b_2\} com b_1=(1,-1) e b_2=(0,2). Regra prática: para uma transformação linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, a matriz [L]_B^B tem como j-ésima coluna as coordenadas de L(b_j) expressas na base B. Ou seja, para cada j encontramos escalares \alpha,\beta tais que L(b_j)=\alpha b_1+\beta b_2; então a coluna j é \begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix}.

Passo 6

Calcular (S\circ T)(b_1). Usamos a fórmula obtida:
(S\circ T)(x,y)=(x-2y,\;y-2x).
Com b_1=(1,-1):
(S\circ T)(1,-1)=(1-2(-1),\;-1-2\cdot1)=(1+2,\;-1-2)=(3,-3).
Agora expressamos (3,-3) na base B. Procuramos \alpha,\beta tais que
\alpha(1,-1)+\beta(0,2)=(\alpha,\,-\alpha+2\beta)=(3,-3).
Igualando coordenadas: \alpha=3 e -\alpha+2\beta=-3. Substituindo \alpha=3:
-3+2\beta=-3\implies 2\beta=0\implies \beta=0.
Logo as coordenadas de (S\circ T)(b_1) em B são \begin{pmatrix}3\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 7

Calcular (S\circ T)(b_2). Para b_2=(0,2):
(S\circ T)(0,2)=(0-2\cdot2,\;2-2\cdot0)=(-4,2).
Expressamos (-4,2) na base B: buscamos \alpha,\beta com
(\alpha,\,-\alpha+2\beta)=(-4,2).
Da primeira coordenada \alpha=-4. Substituindo na segunda:
-(-4)+2\beta=2 \implies 4+2\beta=2 \implies 2\beta=-2 \implies \beta=-1.
Portanto as coordenadas de (S\circ T)(b_2) em B são \begin{pmatrix}-4\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 8

Montamos a matriz [S\circ T]_B^B com as colunas encontradas:
[S\circ T]_B^B=\begin{pmatrix}3 & -4\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.]

Resposta

(T\circ S)(x,y,z)=(2y-2z,\;x+y-2z,\;z-x)
(S\circ T)(x,y)=(x-2y,\;y-2x)
[S\circ T]_B^B=\begin{pmatrix}3 & -4\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}]

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