Superfície Cilíndrica: Identifique e descreva geometricamente a superfície quádrica representada pela equação
no espaço
. (Dica: uma das variáveis está ausente).
Passo 1
O enunciado pede que eu identifique e descreva geometricamente a superfície quádruica dada pela equação
Informações fornecidas e o que é pedido:
- A equação é
. - Observação importante: a variável
não aparece na equação (ou seja, está ausente). - Pergunta a responder: qual é a superfície representada por essa equação e como descrevê‑la geometricamente (forma, eixo, se é limitada ou ilimitada, cortes típicos etc.).
Passo 2
Conceito útil (explicação didática): quando numa equação em
uma das variáveis está ausente, isso indica que a superfície é obtida repetindo (transladando) a curva definida pelas outras duas variáveis ao longo da direção da variável ausente. Em palavras mais simples: a curva no plano formado pelas duas variáveis presentes é “esticada” numa direção reta (paralela ao eixo da variável ausente), formando um cilindro geométrico. No exame: primeiro verifique se alguma variável falta; se faltar, procure a curva no plano perpendicular a essa direção e diga que ela se estende paralelamente à variável ausente.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso: a variável ausente é
. Então tomo uma seção por um plano perpendicular ao eixo
, por exemplo o plano
(qualquer
). Para esse plano a equação fica exatamente a mesma:
Isso é uma curva no plano
. Vou colocar essa equação na forma padrão de uma elipse, dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Interpretação da forma padrão: a equação
representa uma elipse com semi-eixo maior
na direção
e semi-eixo menor
na direção
. Comparando,
Logo, a seção por qualquer plano
é sempre a mesma elipse centrada em
, com semi-eixos
ao longo de
e
ao longo de
.
Passo 5
Conclusão sobre a superfície inteira: como a elipse no plano
não depende de
, ela se repete para todos os valores de
. Portanto a superfície é o conjunto de todas essas elipses para
— isto é, um cilindro com seção elíptica cujo eixo é paralelo ao eixo
. Nome comum: cilindro elíptico (ou cilindro quádruco elíptico) de eixo paralelo a
.
Passo 6
Equações paramétricas (úteis em provas e visualização): uma maneira clara de descrever a superfície é escrever uma parametrização por dois parâmetros, por exemplo
Isto mostra explicitamente que para cada
) temos a mesma elipse em
.]
Passo 7
Cortes com planos coordenados (para visualização):
- Plano
: interseção é a elipse . - Plano
(fixo): substituindo obtemos . Se há duas retas paralelas (valores para todo ); se uma reta ( ); se interseção vazia. Isso confirma que em fatias horizontais (paralelas a ) a superfície aparece como uma ou duas linhas, comportamento coerente com um cilindro elíptico. - Analogamente para plano
.
Passo 8
Descrição geométrica final (como falar na prova): a superfície é um cilindro elíptico infinito, com eixo paralelo ao eixo
, cuja seção transversal por planos
é a elipse de equação
ou seja, semi-eixo em
igual a
e semi-eixo em
igual a
. Dica prática: sempre comece procurando a variável ausente e escreva a seção perpendicular para identificar a curva geradora.
Resposta
Cilindro elíptico com eixo paralelo ao eixo
; seções por
constante são as elipses
com semi‑eixos
na direção
e
na direção
.