Superfície Cilíndrica: Identifique e descreva geometricamente a superfície quádrica representada pela equação y^{2}+4 z^{2}=16 no espaço \mathbb{R}^{3}. (Dica: uma das variáveis está ausente).

Passo 1

O enunciado pede que eu identifique e descreva geometricamente a superfície quádruica dada pela equação
y^{2}+4 z^{2}=16.
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • A equação é \;y^{2}+4 z^{2}=16.
  • Observação importante: a variável x não aparece na equação (ou seja, está ausente).
  • Pergunta a responder: qual é a superfície representada por essa equação e como descrevê‑la geometricamente (forma, eixo, se é limitada ou ilimitada, cortes típicos etc.).

Passo 2

Conceito útil (explicação didática): quando numa equação em \mathbb{R}^{3} uma das variáveis está ausente, isso indica que a superfície é obtida repetindo (transladando) a curva definida pelas outras duas variáveis ao longo da direção da variável ausente. Em palavras mais simples: a curva no plano formado pelas duas variáveis presentes é “esticada” numa direção reta (paralela ao eixo da variável ausente), formando um cilindro geométrico. No exame: primeiro verifique se alguma variável falta; se faltar, procure a curva no plano perpendicular a essa direção e diga que ela se estende paralelamente à variável ausente.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: a variável ausente é x. Então tomo uma seção por um plano perpendicular ao eixo x, por exemplo o plano \;x=x_{0} (qualquer x_{0}\in\mathbb{R}). Para esse plano a equação fica exatamente a mesma:
y^{2}+4 z^{2}=16.
Isso é uma curva no plano yz. Vou colocar essa equação na forma padrão de uma elipse, dividindo ambos os lados por 16:
\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{4}=1.

Passo 4

Interpretação da forma padrão: a equação
\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}=1
representa uma elipse com semi-eixo maior a na direção y e semi-eixo menor b na direção z. Comparando,
a^{2}=16\implies a=4,\qquad b^{2}=4\implies b=2.
Logo, a seção por qualquer plano \;x=x_{0} é sempre a mesma elipse centrada em (y,z)=(0,0), com semi-eixos 4 ao longo de y e 2 ao longo de z.

Passo 5

Conclusão sobre a superfície inteira: como a elipse no plano yz não depende de x, ela se repete para todos os valores de x. Portanto a superfície é o conjunto de todas essas elipses para x\in\mathbb{R} — isto é, um cilindro com seção elíptica cujo eixo é paralelo ao eixo x. Nome comum: cilindro elíptico (ou cilindro quádruco elíptico) de eixo paralelo a x.

Passo 6

Equações paramétricas (úteis em provas e visualização): uma maneira clara de descrever a superfície é escrever uma parametrização por dois parâmetros, por exemplo t\in\mathbb{R}\) (para a direção do eixo) e \(\theta\in[0,2\pi)\) (para percorrer a elipse): \[\begin{cases} x = t,\\[4pt] y = 4\cos\theta,\\[4pt] z = 2\sin\theta, \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R},\\ \theta\in[0,2\pi).
Isto mostra explicitamente que para cada t\] (cada posição ao longo do eixo \(x) temos a mesma elipse em (y,z).]

Passo 7

Cortes com planos coordenados (para visualização):
  • Plano \;x=x_{0}: interseção é a elipse \dfrac{y^{2}}{16}+\dfrac{z^{2}}{4}=1.
  • Plano \;z=c (fixo): substituindo obtemos y^{2}=16-4c^{2}. Se |c|<2 há duas retas paralelas (valores y=\pm\sqrt{16-4c^{2}} para todo x); se |c|=2 uma reta ( y=0); se |c|>2 interseção vazia. Isso confirma que em fatias horizontais (paralelas a xy) a superfície aparece como uma ou duas linhas, comportamento coerente com um cilindro elíptico.
  • Analogamente para plano \;y=c.

Passo 8

Descrição geométrica final (como falar na prova): a superfície é um cilindro elíptico infinito, com eixo paralelo ao eixo x, cuja seção transversal por planos \;x=\text{constante} é a elipse de equação
\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{4}=1,
ou seja, semi-eixo em y igual a 4 e semi-eixo em z igual a 2. Dica prática: sempre comece procurando a variável ausente e escreva a seção perpendicular para identificar a curva geradora.

Resposta

Cilindro elíptico com eixo paralelo ao eixo x; seções por x= constante são as elipses
\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{4}=1,
com semi‑eixos a=4 na direção y e b=2 na direção z.

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