(2.5 Pontos) Um sistema de equações diferenciais de primeira ordem linear e homogêneo com a forma
onde
pode descrever a evolução temporal de duas variáveis acopladas,
e
, sob a influência da matriz
. Essa matriz pode representar diferentes tipos de interações entre as variáveis. Esse tipo de sistema é útil em modelagem de fenômenos como oscilaçōes acopladas, sistemas de corrente alternada (AC), movimentos rotacionais e até mesmo dinâmica populacional em ecologia.
Com os valores
, e
, esse sistema pode ser aplicado para modelar um sistema rotacional em circuitos de corrente alternada (AC), especialmente para descrever correntes e tensões em um circuito de duas bobinas acopladas. Resolva o sistema para este caso, com a condiçāo inicial
.
Com os valores
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear homogêneo de primeira ordem
com a matriz
e especifica os valores
ou seja
A condição inicial é
O que o problema pede: encontrar a solução
(ou seja,
e
) que satisfaz
com a condição inicial acima.]
Passo 2
Estratégia geral usada aqui (sem ainda calcular): para um sistema linear homogêneo com coeficientes constantes a solução é
onde
é a exponencial da matriz
. Em muitos casos calcular
diretamente (por diagonalização ou série de potências) é a forma prática. Neste problema a matriz
tem uma forma especial que simplifica muito o cálculo: ela pode ser escrita como combinação de
e de uma matriz que se comporta como a unidade imaginária (ou seja, cujo quadrado é
). Vou explorar isso porque leva a uma fórmula simples para
.
Passo 3
Defino a matriz
Observações sobre
:
Ou seja,
. Note que a nossa matriz
pode ser escrita como
Vou usar essa decomposição para calcular
de forma direta.]
Passo 4
Uso a série de potências da exponencial matricial:
Como
com
e
, e tendo em mente que
comuta com
e
, podemos agrupar termos pares e ímpares da série para obter uma expressão fechada. O resultado padrão dessa soma é (pode-se verificar usando a série de senos e cossenos):
Aqui cada símbolo significa:
-
é o coeficiente do em ; -
é o coeficiente de em ; -
e vêm da soma dos termos pares e ímpares da série, respectivamente.
Portanto, no nosso caso
Passo 5
Agora aplico
à condição inicial
. Primeiro calculo
atuando sobre
:
Logo
Passo 6
Faço a soma vetorial explicitando as componentes:
Portanto as componentes são
Passo 7
Verificação rápida (importante para a prova): devo confirmar que a solução satisfaz a EDO e a condição inicial. Inicialmente,
ok. Agora derivando:
Calculando
:
que coincide com
. Logo a solução está correta.]