(2.5 Pontos) Um sistema de equações diferenciais de primeira ordem linear e homogêneo com a forma
X^{\prime}(t)=A X(t),
onde
A=\left(\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right),
pode descrever a evolução temporal de duas variáveis acopladas, x(t) e y(t), sob a influência da matriz A. Essa matriz pode representar diferentes tipos de interações entre as variáveis. Esse tipo de sistema é útil em modelagem de fenômenos como oscilaçōes acopladas, sistemas de corrente alternada (AC), movimentos rotacionais e até mesmo dinâmica populacional em ecologia.
Com os valores a=d=1, b=3, e c=-3, esse sistema pode ser aplicado para modelar um sistema rotacional em circuitos de corrente alternada (AC), especialmente para descrever correntes e tensões em um circuito de duas bobinas acopladas. Resolva o sistema para este caso, com a condiçāo inicial X(0)=\binom{1}{0}.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear homogêneo de primeira ordem
X'(t)=A\,X(t)
com a matriz
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}
e especifica os valores
a=d=1,\qquad b=3,\qquad c=-3,
ou seja
A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix}.
A condição inicial é
X(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
O que o problema pede: encontrar a solução X(t) (ou seja, x(t) e y(t)) que satisfaz X'(t)=A X(t) com a condição inicial acima.]

Passo 2

Estratégia geral usada aqui (sem ainda calcular): para um sistema linear homogêneo com coeficientes constantes a solução é
X(t)=e^{A t}X(0),
onde e^{A t} é a exponencial da matriz A. Em muitos casos calcular e^{A t} diretamente (por diagonalização ou série de potências) é a forma prática. Neste problema a matriz A tem uma forma especial que simplifica muito o cálculo: ela pode ser escrita como combinação de I e de uma matriz que se comporta como a unidade imaginária (ou seja, cujo quadrado é -I). Vou explorar isso porque leva a uma fórmula simples para e^{A t}.

Passo 3

Defino a matriz
J=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}.
Observações sobre J:
J^2=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}=-I.
Ou seja, J^2=-I. Note que a nossa matriz A pode ser escrita como
A=1\cdot I + 3\cdot J.
Vou usar essa decomposição para calcular e^{A t} de forma direta.]

Passo 4

Uso a série de potências da exponencial matricial:
e^{A t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(A t)^n}{n!}.
Como A= \alpha I + \beta J com \alpha=1 e \beta=3, e tendo em mente que I comuta com J e J^2=-I, podemos agrupar termos pares e ímpares da série para obter uma expressão fechada. O resultado padrão dessa soma é (pode-se verificar usando a série de senos e cossenos):
e^{A t}=e^{\alpha t}\big(\cos(\beta t)\,I + \sin(\beta t)\,J\big).
Aqui cada símbolo significa:
  • \alpha=1 é o coeficiente do I em A;
  • \beta=3 é o coeficiente de J em A;
  • \cos(\beta t) e \sin(\beta t) vêm da soma dos termos pares e ímpares da série, respectivamente.
Portanto, no nosso caso
e^{A t}=e^{t}\big(\cos(3t)\,I + \sin(3t)\,J\big).

Passo 5

Agora aplico e^{A t} à condição inicial X(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}. Primeiro calculo J atuando sobre X(0):
J\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Logo
e^{A t}X(0)=e^{t}\big(\cos(3t)\,I + \sin(3t)\,J\big)\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} = e^{t}\Big(\cos(3t)\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}+\sin(3t)\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix}\Big).]

Passo 6

Faço a soma vetorial explicitando as componentes:
e^{A t}X(0)=e^{t}\begin{pmatrix}\cos(3t)\\[4pt]-\sin(3t)\end{pmatrix}.
Portanto as componentes são
x(t)=e^{t}\cos(3t),\qquad y(t)=-e^{t}\sin(3t).]

Passo 7

Verificação rápida (importante para a prova): devo confirmar que a solução satisfaz a EDO e a condição inicial. Inicialmente,
X(0)=\begin{pmatrix}e^{0}\cos0\\[4pt]-e^{0}\sin0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},
ok. Agora derivando:
x'(t)=e^{t}\cos(3t)-3e^{t}\sin(3t)=e^{t}\big(\cos(3t)-3\sin(3t)\big),
y'(t)=-e^{t}\sin(3t)-3e^{t}\cos(3t)=-e^{t}\big(\sin(3t)+3\cos(3t)\big).
Calculando A X(t):
A\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt]-3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^{t}\cos(3t)\\[4pt]-e^{t}\sin(3t)\end{pmatrix} =e^{t}\begin{pmatrix}\cos(3t)-3\sin(3t)\\[4pt]-3\cos(3t)-\sin(3t)\end{pmatrix},
que coincide com \begin{pmatrix}x'(t)\\[4pt]y'(t)\end{pmatrix}. Logo a solução está correta.]

Resposta

X(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[6pt]y(t)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}e^{t}\cos(3t)\\[6pt]-\,e^{t}\sin(3t)\end{pmatrix}]

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