Calcule a integral da funçção f(x, y)=x^{2} y no retângulo R:[0,2] \times[1,3].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral da função f(x,y)=x^{2}y sobre o retângulo R=[0,2]\times[1,3]. Dados e perguntas claros:
  • Função: f(x,y)=x^{2}y.
  • Região de integração: R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\;1\le y\le 3\}.
  • Pergunta: calcular \iint_{R} x^{2}y\,dA (a integral dupla sobre R).

Passo 2

Escolha do método (explicando a ideia de forma didática): como R é um retângulo, podemos usar a fórmula de integração iterada (Teorema de Fubini) que diz que a integral dupla sobre um retângulo pode ser calculada como uma integral iterada. Em palavras simples: integrar primeiro em x mantendo y fixo, depois integrar em y (ou vice-versa). A fórmula geral que vamos usar é
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{y=1}^{3}\left(\int_{x=0}^{2} f(x,y)\,dx\right)dy.
Aqui dA é o elemento de área, x e y são as variáveis de integração; na integral interna tratamos y como constante.

Passo 3

Montar a integral iterada para o nosso f(x,y):
\iint_{R} x^{2}y\,dA = \int_{y=1}^{3}\left(\int_{x=0}^{2} x^{2}y\,dx\right)dy.
Observação: escolhi integrar primeiro em x por conveniência porque x^{2}y é produto de uma parte que depende só de x e outra só de y; isso torna a integração bem direta.

Passo 4

Calcular a integral interna \displaystyle \int_{x=0}^{2} x^{2}y\,dx. Regras usadas:
  • Regra do fator constante: se uma expressão não depende de x (aqui y), ela sai da integral como constante.
  • Regra da potência: \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
Aplicando: y é constante na integração em x, então
\int_{x=0}^{2} x^{2}y\,dx = y\int_{0}^{2} x^{2}\,dx.
Agora usar a regra da potência com n=2:
\int_{0}^{2} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}=\frac{8}{3}.

Passo 5

Portanto a integral interna fica
\int_{x=0}^{2} x^{2}y\,dx = y\cdot\frac{8}{3}=\frac{8}{3}y.
Agora substituímos isso na integral externa.

Passo 6

Calcular a integral externa \displaystyle \int_{y=1}^{3} \frac{8}{3}y\,dy. Regras usadas:
  • Fator constante: \frac{8}{3} sai da integral.
  • Regra da potência para y: \displaystyle \int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.
Aplicando:
\int_{y=1}^{3} \frac{8}{3}y\,dy = \frac{8}{3}\int_{1}^{3} y\,dy = \frac{8}{3}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{1}^{3}.

Passo 7

Avaliar os limites da integral externa:
\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{1}^{3} = \frac{3^{2}}{2}-\frac{1^{2}}{2}=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=\frac{8}{2}=4.
Logo
\frac{8}{3}\cdot 4 = \frac{32}{3}.

Passo 8

Comentário didático extra (verificação rápida): como x^{2}y=(x^{2})(y) e a região é retangular, a integral separa-se em produto de integrais:
\iint_{R} x^{2}y\,dA = \left(\int_{0}^{2} x^{2}\,dx\right)\left(\int_{1}^{3} y\,dy\right)=\frac{8}{3}\cdot 4=\frac{32}{3},
o que confirma o resultado anterior. É uma técnica útil para lembrar na prova: se a função é produto de uma função só de x por outra só de y e a região é retângulo, é só multiplicar integrais unidimensionais.

Resposta

\dfrac{32}{3}

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