Calcule a integral da funçção
no retângulo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral da função
sobre o retângulo
. Dados e perguntas claros:
- Função:
. - Região de integração:
. - Pergunta: calcular
(a integral dupla sobre ).
Passo 2
Escolha do método (explicando a ideia de forma didática): como
é um retângulo, podemos usar a fórmula de integração iterada (Teorema de Fubini) que diz que a integral dupla sobre um retângulo pode ser calculada como uma integral iterada. Em palavras simples: integrar primeiro em
mantendo
fixo, depois integrar em
(ou vice-versa). A fórmula geral que vamos usar é
Aqui
é o elemento de área,
e
são as variáveis de integração; na integral interna tratamos
como constante.
Passo 3
Montar a integral iterada para o nosso
:
Observação: escolhi integrar primeiro em
por conveniência porque
é produto de uma parte que depende só de
e outra só de
; isso torna a integração bem direta.
Passo 4
Calcular a integral interna
. Regras usadas:
- Regra do fator constante: se uma expressão não depende de
(aqui ), ela sai da integral como constante. - Regra da potência:
para .
Aplicando:
é constante na integração em
, então
Agora usar a regra da potência com
:
Passo 5
Portanto a integral interna fica
Agora substituímos isso na integral externa.
Passo 6
Calcular a integral externa
. Regras usadas:
- Fator constante:
sai da integral. - Regra da potência para
: .
Aplicando:
Passo 7
Avaliar os limites da integral externa:
Logo
Passo 8
Comentário didático extra (verificação rápida): como
e a região é retangular, a integral separa-se em produto de integrais:
o que confirma o resultado anterior. É uma técnica útil para lembrar na prova: se a função é produto de uma função só de
por outra só de
e a região é retângulo, é só multiplicar integrais unidimensionais.