(2 pontos) Para um sistema com três massas ligadas por duas molas de constante elástica k, oscilando longitudinalmente, onde a massa central é diferente das outras duas (molécula triatômica), ache os modos normais de vibração. Escreva a solução em termos dos vetores modos normais. Ache a matriz que desacopla o movimento e ache as soluções em termos das coordenadas normais.
Passo 1
O enunciado dá um sistema com três massas ligadas por duas molas de constante elástica k, oscilando ao longo de uma mesma linha. A massa central tem massa diferente das outras duas. Vou denotar:
massas das extremidades: m (cada uma),
massa central: M,
constantes das duas molas: k,
deslocamentos longitudinais (pegar a partir da posição de equilíbrio): x_1(t) (massa esquerda), x_2(t) (massa central), x_3(t) (massa direita).
O que o enunciado pede:
Achar os modos normais de vibração (autovetores) e as frequências normais (autovalores).
Escrever a solução em termos dos vetores modos normais.
Achar a matriz que desacopla o movimento (transformação para coordenadas normais).
Achar as soluções nas coordenadas normais.
Informações relevantes dadas (variáveis que vou usar): m, M, k, e as três coordenadas x_1,x_2,x_3. Não há condicionamento às paredes: apenas as duas molas entre as massas.
Passo 2
Escrever as equações do movimento por forças e matrizes. A energia potencial (pequenas oscilações, molas lineares) é
Para modos normais procuramos soluções harmônicas do tipo \mathbf{x}(t)=\mathbf{v}\,e^{i\omega t} (vetor de amplitudes \mathbf{v} não-nulo). Substituindo:
logo \omega_1^2=0. Interpretação: modo de frequência zero (translação do conjunto).
Passo 5
Modo antissimétrico (massa central parada). Procuro um modo com x_2=0 e x_3=-x_1, i.e. \mathbf{v}_2=(1,0,-1)^T. Substituindo:
primeira equação dá k(1-0)=\omega^2 m\cdot 1\Rightarrow \omega^2=k/m.
Segunda equação dá k(-1+0+1)=0=\omega^2 M\cdot 0, satisfeita.
Terceira dá o mesmo que a primeira. Portanto um modo com
Física: as duas massas externas oscilam em oposição; a massa central fica fixa.
Passo 6
Modo simétrico (extremidades em fase e massa central em fase oposta). Procuro \mathbf{v}_3=(1,x,1)^T com x a razão x_2/x_1 (não trivial, x\neq1 para sair do modo de translação). Das equações:
da primeira: k(1-x)=\omega^2 m\cdot 1, então
\omega^2=\frac{k(1-x)}{m}.
da segunda: k(2x-1-1)=k(2x-2)=\omega^2 M x, portanto
\omega^2 M x = 2k(x-1).
Substituindo \omega^2 da primeira na segunda:
\frac{k(1-x)}{m}\,M x = 2k(x-1).
Note que 1-x=-(x-1). Simplificando (dividindo por k) e isolando, para x\neq1:
Construir a matriz que desacopla o movimento. Para desacoplar convenientemente é prático escolher os autovetores normalizados segundo o produto interno com a matriz de massas (mass-normalizados), ou seja escolher colunas \mathbf{u}_i tais que \mathbf{u}_i^T\mathbf{M}\mathbf{u}_j=\delta_{ij}. Calcular as normas (energia cinética) dos vetores dados:
que satisfaz \mathbf{S}^T\mathbf{M}\mathbf{S}=\mathbf{I} e \mathbf{S}^T\mathbf{K}\mathbf{S}=\operatorname{diag}(\omega_1^2,\omega_2^2,\omega_3^2).
Passo 9
Equações desacopladas e solução nas coordenadas normais. Faça a mudança de variáveis
\mathbf{x}(t)=\mathbf{S}\,\mathbf{q}(t),
onde \mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3)^T são as coordenadas normais. Substituindo nas equações e usando as propriedades da matriz modal chega-se ao sistema desacoplado