(2 pontos) Para um sistema com três massas ligadas por duas molas de constante elástica k, oscilando longitudinalmente, onde a massa central é diferente das outras duas (molécula triatômica), ache os modos normais de vibração. Escreva a solução em termos dos vetores modos normais. Ache a matriz que desacopla o movimento e ache as soluções em termos das coordenadas normais.

Passo 1

O enunciado dá um sistema com três massas ligadas por duas molas de constante elástica k, oscilando ao longo de uma mesma linha. A massa central tem massa diferente das outras duas. Vou denotar:
  • massas das extremidades: m (cada uma),
  • massa central: M,
  • constantes das duas molas: k,
  • deslocamentos longitudinais (pegar a partir da posição de equilíbrio): x_1(t) (massa esquerda), x_2(t) (massa central), x_3(t) (massa direita).
O que o enunciado pede:
  1. Achar os modos normais de vibração (autovetores) e as frequências normais (autovalores).
  2. Escrever a solução em termos dos vetores modos normais.
  3. Achar a matriz que desacopla o movimento (transformação para coordenadas normais).
  4. Achar as soluções nas coordenadas normais.
Informações relevantes dadas (variáveis que vou usar): m, M, k, e as três coordenadas x_1,x_2,x_3. Não há condicionamento às paredes: apenas as duas molas entre as massas.

Passo 2

Escrever as equações do movimento por forças e matrizes. A energia potencial (pequenas oscilações, molas lineares) é
V=\tfrac{1}{2}k(x_2-x_1)^2+\tfrac{1}{2}k(x_3-x_2)^2.
As forças elásticas sobre cada massa são obtidas por derivação; as equações de Newton ficam (forma usual):
m\ddot{x}_1 = -k(x_1-x_2), \qquad M\ddot{x}_2 = -k(2x_2-x_1-x_3), \qquad m\ddot{x}_3 = -k(x_3-x_2).
Em forma matricial generalizada:
\underbrace{\begin{pmatrix} m & 0 & 0 \\[4pt] 0 & M & 0 \\[4pt] 0 & 0 & m \end{pmatrix}}_{=: \, \mathbf{M}} \ddot{\mathbf{x}} + \underbrace{k\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\[4pt] -1 & 2 & -1 \\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}}_{=: \, \mathbf{K}} \mathbf{x} = \mathbf{0},
onde \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)^{T}.]

Passo 3

Para modos normais procuramos soluções harmônicas do tipo \mathbf{x}(t)=\mathbf{v}\,e^{i\omega t} (vetor de amplitudes \mathbf{v} não-nulo). Substituindo:
(-\omega^2\mathbf{M}+\mathbf{K})\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Isto é um problema generalizado de autovalores. Equivalente:
\mathbf{K}\mathbf{v}=\omega^2\mathbf{M}\mathbf{v}.
Vou resolver este sistema para encontrar os pares (\omega^2,\mathbf{v}).

Passo 4

Modo de translação (autovalor zero). Se todas as massas se deslocam igualmente, \mathbf{v}_1=(1,1,1)^T. Verificar:
\mathbf{K}(1,1,1)^T = k(0,0,0)^T = \mathbf{0} = 0\cdot\mathbf{M}(1,1,1)^T,
logo \omega_1^2=0. Interpretação: modo de frequência zero (translação do conjunto).

Passo 5

Modo antissimétrico (massa central parada). Procuro um modo com x_2=0 e x_3=-x_1, i.e. \mathbf{v}_2=(1,0,-1)^T. Substituindo:
primeira equação dá k(1-0)=\omega^2 m\cdot 1\Rightarrow \omega^2=k/m.
Segunda equação dá k(-1+0+1)=0=\omega^2 M\cdot 0, satisfeita.
Terceira dá o mesmo que a primeira. Portanto um modo com
\mathbf{v}_2=(1,0,-1)^T,\qquad \omega_2^2=\frac{k}{m}.
Física: as duas massas externas oscilam em oposição; a massa central fica fixa.

Passo 6

Modo simétrico (extremidades em fase e massa central em fase oposta). Procuro \mathbf{v}_3=(1,x,1)^T com x a razão x_2/x_1 (não trivial, x\neq1 para sair do modo de translação). Das equações:
da primeira: k(1-x)=\omega^2 m\cdot 1, então
\omega^2=\frac{k(1-x)}{m}.
da segunda: k(2x-1-1)=k(2x-2)=\omega^2 M x, portanto
\omega^2 M x = 2k(x-1).
Substituindo \omega^2 da primeira na segunda:
\frac{k(1-x)}{m}\,M x = 2k(x-1).
Note que 1-x=-(x-1). Simplificando (dividindo por k) e isolando, para x\neq1:
-\frac{M x}{m}(x-1) = 2(x-1) \quad\Rightarrow\quad -\frac{M x}{m}=2 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{2m}{M}.
Logo o autovetor (não normalizado) pode ser tomado como
\mathbf{v}_3=(1,-\tfrac{2m}{M},1)^T,
ou multiplicando por M para evitar frações:
\mathbf{v}_3=(M,-2m,M)^T.
A frequência ao substituir em \omega^2=\dfrac{k(1-x)}{m}:
\omega_3^2 = \frac{k\bigl(1+ \tfrac{2m}{M}\bigr)}{m} = \frac{k(M+2m)}{mM}.

Passo 7

Resumo dos autovalores e autovetores (vetores não normalizados):
\begin{aligned} \omega_1^2 &= 0, & \mathbf{v}_1 &= (1,1,1)^T,\\[4pt] \omega_2^2 &= \dfrac{k}{m}, & \mathbf{v}_2 &= (1,0,-1)^T,\\[6pt] \omega_3^2 &= \dfrac{k(M+2m)}{mM}, & \mathbf{v}_3 &= (M,-2m,M)^T. \end{aligned}]

Passo 8

Construir a matriz que desacopla o movimento. Para desacoplar convenientemente é prático escolher os autovetores normalizados segundo o produto interno com a matriz de massas (mass-normalizados), ou seja escolher colunas \mathbf{u}_i tais que \mathbf{u}_i^T\mathbf{M}\mathbf{u}_j=\delta_{ij}. Calcular as normas (energia cinética) dos vetores dados:
  • Para \mathbf{v}_1:
\mathbf{v}_1^T\mathbf{M}\mathbf{v}_1 = m+M+m = 2m+M.
Logo \mathbf{u}_1 = \dfrac{1}{\sqrt{2m+M}}(1,1,1)^T.
  • Para \mathbf{v}_2:
\mathbf{v}_2^T\mathbf{M}\mathbf{v}_2 = m+0+m = 2m,
logo \mathbf{u}_2 = \dfrac{1}{\sqrt{2m}}(1,0,-1)^T.
  • Para \mathbf{v}_3=(M,-2m,M)^T:
\mathbf{v}_3^T\mathbf{M}\mathbf{v}_3 = mM^2 + M(4m^2) + mM^2 = 2mM^2 + 4m^2M = 2mM(M+2m).
Logo
\mathbf{u}_3 = \dfrac{1}{\sqrt{2mM(M+2m)}}(M,-2m,M)^T.
Defino a matriz modal (mass-normalizada)
\mathbf{S} = \bigl[\mathbf{u}_1\\ \mathbf{u}_2\\ \mathbf{u}_3\bigr],
que satisfaz \mathbf{S}^T\mathbf{M}\mathbf{S}=\mathbf{I} e \mathbf{S}^T\mathbf{K}\mathbf{S}=\operatorname{diag}(\omega_1^2,\omega_2^2,\omega_3^2).

Passo 9

Equações desacopladas e solução nas coordenadas normais. Faça a mudança de variáveis
\mathbf{x}(t)=\mathbf{S}\,\mathbf{q}(t),
onde \mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3)^T são as coordenadas normais. Substituindo nas equações e usando as propriedades da matriz modal chega-se ao sistema desacoplado
\ddot{\mathbf{q}} + \begin{pmatrix}\omega_1^2&0&0\\[4pt]0&\omega_2^2&0\\[4pt]0&0&\omega_3^2\end{pmatrix}\mathbf{q}=\mathbf{0}.
As soluções são simples harmônicas:
q_i(t)=A_i\cos(\omega_i t)+B_i\sin(\omega_i t),\qquad i=1,2,3,
com constantes A_i,B_i determinadas pelas condições iniciais. Reconstruindo:
\mathbf{x}(t)=\sum_{i=1}^{3} q_i(t)\,\mathbf{u}_i = q_1(t)\mathbf{u}_1+q_2(t)\mathbf{u}_2+q_3(t)\mathbf{u}_3.]

Resposta

Autovalores (frequências ao quadrado) e autovetores (não normalizados):
\omega_1^2=0,\quad \mathbf{v}_1=(1,1,1)^T;
\omega_2^2=\frac{k}{m},\quad \mathbf{v}_2=(1,0,-1)^T;
\omega_3^2=\frac{k(M+2m)}{mM},\quad \mathbf{v}_3=(M,-2m,M)^T.
Matriz modal mass-normalizada \mathbf{S}=[\mathbf{u}_1\\ \mathbf{u}_2\\ \mathbf{u}_3] com
\mathbf{u}_1=\frac{1}{\sqrt{2m+M}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad \mathbf{u}_2=\frac{1}{\sqrt{2m}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix},\quad \mathbf{u}_3=\frac{1}{\sqrt{2mM(M+2m)}}\begin{pmatrix}M\\[4pt]-2m\\[4pt]M\end{pmatrix}.
Equações desacopladas em coordenadas normais \mathbf{q}(t):
\ddot{\mathbf{q}}+\operatorname{diag}(\,0,\tfrac{k}{m},\tfrac{k(M+2m)}{mM}\,)\,\mathbf{q}=\mathbf{0}.
Solução geral nas coordenadas normais:
q_i(t)=A_i\cos(\omega_i t)+B_i\sin(\omega_i t),\qquad \omega_1=0,\\ \omega_2=\sqrt{\tfrac{k}{m}},\\ \omega_3=\sqrt{\tfrac{k(M+2m)}{mM}}.
Solução no espaço físico (deslocamentos):
\mathbf{x}(t)=\mathbf{S}\,\mathbf{q}(t) = q_1(t)\,\mathbf{u}_1 + q_2(t)\,\mathbf{u}_2 + q_3(t)\,\mathbf{u}_3,
com q_i(t) dados acima.]

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