Problema 9. (11.22 Beer). Iniciando a partir de v=0 sem velocidade inicial, uma partícula recebe uma aceleração a=-0.1 \sqrt{v^{2}+16}, onde a e v são expressos \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} \mathrm{e} \mathrm{m} / \mathrm{s}, respectivamente. Determine
a velocidade e a aceleração da partícula quando x=4 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma):
  • A partícula parte de x=0 com velocidade inicial v(0)=0.
  • A aceleração é dada por \displaystyle a=-0{,}1\sqrt{v^{2}+16}, com a em \mathrm{m/s^{2}} e v em \mathrm{m/s}.
  • Pede-se: determinar a velocidade v e a aceleração a da partícula quando x=4\\ \mathrm{m}.
Resumo curto do que temos: uma aceleração dada em função de v (não em função do tempo nem da posição), condição inicial em x=0, e queremos os valores quando a posição vale x=4\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Primeiro conceito-chave que precisamos usar: relação entre aceleração, velocidade e posição. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a=\frac{dv}{dt}.
Mas queremos relacionar v com x. Usando a regra da cadeia, escrevemos
\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}.
Como \dfrac{dx}{dt}=v, obtemos a identidade muito útil:
\boxed{a=v\frac{dv}{dx}.}
Explicação curta e intuitiva: a taxa de variação da velocidade no tempo pode ser vista como a taxa de variação da velocidade em função da posição vezes a velocidade (porque a posição muda com velocidade).

Passo 3

Substituo a expressão acima na equação dada para a aceleração. Temos
v\frac{dv}{dx}=-0{,}1\sqrt{v^{2}+16}.
Isto é uma equação diferencial separável em v e x. Vou separá-la de modo a integrar:
\frac{v}{\sqrt{v^{2}+16}}\,dv=-0{,}1\,dx.
Aí conquistamos a separação: todos os termos em v à esquerda e em x à direita.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados, aplicando as condições iniciais: em x=0 temos v=0. Integração (mostrando cada passo):
  • Para a integral em v, faço a substituição u=v^{2}+16. Então du=2v\,dv e v\,dv=\tfrac{1}{2}du. Assim
\int \frac{v}{\sqrt{v^{2}+16}}\,dv=\int \frac{1}{2}\frac{du}{\sqrt{u}}=\int \frac{1}{2}u^{-1/2}du=\sqrt{u} + C=\sqrt{v^{2}+16}+C.
  • Aplicando limites (de v=0 até v=v(x)) e integrando o lado direito de x=0 até x obtemos
\Big[\sqrt{v^{2}+16}\Big]_{0}^{v(x)} = -0{,}1\,[x]_{0}^{x}.
Portanto
\sqrt{v^{2}+16}-\sqrt{0^{2}+16}=-0{,}1x.
Ou seja
\sqrt{v^{2}+16}-4=-0{,}1x.

Passo 5

Rearranjo a relação obtida:
\sqrt{v^{2}+16}=4-0{,}1x.
Observe agora uma restrição importante: o lado esquerdo \sqrt{v^{2}+16} é sempre maior ou igual a 4 (pois v^{2}\ge 0). Logo o lado direito tem de satisfazer
4-0{,}1x \ge 4 \quad\Longrightarrow\quad -0{,}1x \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x\le 0.
Interpretação física e matemática: a igualdade só é possível para x\le 0. Em palavras mais simples — dado que a aceleração é negativa em v=0 (pois a(0)=-0{,}1\sqrt{16}=-0{,}4\\ \mathrm{m/s^{2}}), a partícula adquire velocidade negativa imediatamente e move-se no sentido negativo do eixo x. Portanto a partícula não percorre posições x>0; ela vai para x\le 0. Isso implica que a posição x=4\\ \mathrm{m} (positiva) não é atingida partindo de x=0 com esta lei de aceleração.

Passo 6

Para completar a descrição, obtenho a expressão explícita de v em função de x (válida nas posições alcançáveis, isto é x\le 0). Elevando ao quadrado a expressão anterior:
v^{2}+16=(4-0{,}1x)^{2},
v^{2}=(4-0{,}1x)^{2}-16.
Expandindo,
v^{2}=-0{,}8x+0{,}01x^{2}.
Como para x<0 a velocidade é negativa (a partícula vai no sentido negativo), escolhemos a raiz negativa:
\boxed{v(x)=-\sqrt{-0{,}8x+0{,}01x^{2}}\quad\text{para }x\le 0.}
Também podemos escrever a aceleração como função de x usando a relação original a=-0{,}1\sqrt{v^{2}+16}. Mas como já sabemos \sqrt{v^{2}+16}=4-0{,}1x, obtemos, para x\le 0,
\boxed{a(x)=-0{,}1\bigl(4-0{,}1x\bigr)=-0{,}4+0{,}01x\quad\text{para }x\le 0.}
Nota: em x=0 isso dá v(0)=0 e a(0)=-0{,}4\\ \mathrm{m/s^{2}}, consistente com as condições iniciais.

Passo 7

Conclusão sobre o pedido específico: como demonstrado no Passo 5, a solução exige x\le 0. Portanto a posição x=4\\ \mathrm{m} não pertence ao conjunto de posições que a partícula pode alcançar partindo de x=0 com v(0)=0 e com a aceleração dada. Logo não existem valores reais de v e a da partícula em x=4\\ \mathrm{m} no movimento determinado pelo enunciado.
Se fosse necessário (por curiosidade), pode-se calcular v e a para qualquer x\le 0 usando as fórmulas do Passo 6; mas para x=4\\ \mathrm{m} não há solução física/real.

Resposta

A partícula não alcança x=4\\ \mathrm{m}; portanto não é possível determinar v e a em x=4\\ \mathrm{m} (a solução exige x\le 0).

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