Problema 9. (11.22 Beer). Iniciando a partir de
sem velocidade inicial, uma partícula recebe uma aceleração
, onde
e
são expressos
, respectivamente. Determine
a velocidade e a aceleração da partícula quando
a velocidade e a aceleração da partícula quando
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma):
- A partícula parte de
com velocidade inicial . - A aceleração é dada por
, com em e em . - Pede-se: determinar a velocidade
e a aceleração da partícula quando .
Resumo curto do que temos: uma aceleração dada em função de
(não em função do tempo nem da posição), condição inicial em
, e queremos os valores quando a posição vale
.
Passo 2
Primeiro conceito-chave que precisamos usar: relação entre aceleração, velocidade e posição. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Mas queremos relacionar
com
. Usando a regra da cadeia, escrevemos
Como
, obtemos a identidade muito útil:
Explicação curta e intuitiva: a taxa de variação da velocidade no tempo pode ser vista como a taxa de variação da velocidade em função da posição vezes a velocidade (porque a posição muda com velocidade).
Passo 3
Substituo a expressão acima na equação dada para a aceleração. Temos
Isto é uma equação diferencial separável em
e
. Vou separá-la de modo a integrar:
Aí conquistamos a separação: todos os termos em
à esquerda e em
à direita.
Passo 4
Agora integramos ambos os lados, aplicando as condições iniciais: em
temos
. Integração (mostrando cada passo):
- Para a integral em
, faço a substituição . Então e . Assim
- Aplicando limites (de
até ) e integrando o lado direito de até obtemos
Portanto
Ou seja
Passo 5
Rearranjo a relação obtida:
Observe agora uma restrição importante: o lado esquerdo
é sempre maior ou igual a
(pois
). Logo o lado direito tem de satisfazer
Interpretação física e matemática: a igualdade só é possível para
. Em palavras mais simples — dado que a aceleração é negativa em
(pois
), a partícula adquire velocidade negativa imediatamente e move-se no sentido negativo do eixo
. Portanto a partícula não percorre posições
; ela vai para
. Isso implica que a posição
(positiva) não é atingida partindo de
com esta lei de aceleração.
Passo 6
Para completar a descrição, obtenho a expressão explícita de
em função de
(válida nas posições alcançáveis, isto é
). Elevando ao quadrado a expressão anterior:
Expandindo,
Como para
a velocidade é negativa (a partícula vai no sentido negativo), escolhemos a raiz negativa:
Também podemos escrever a aceleração como função de
usando a relação original
. Mas como já sabemos
, obtemos, para
,
Nota: em
isso dá
e
, consistente com as condições iniciais.
Passo 7
Conclusão sobre o pedido específico: como demonstrado no Passo 5, a solução exige
. Portanto a posição
não pertence ao conjunto de posições que a partícula pode alcançar partindo de
com
e com a aceleração dada. Logo não existem valores reais de
e
da partícula em
no movimento determinado pelo enunciado.
Se fosse necessário (por curiosidade), pode-se calcular
e
para qualquer
usando as fórmulas do Passo 6; mas para
não há solução física/real.
Resposta
A partícula não alcança
; portanto não é possível determinar
e
em
(a solução exige
).