(2 pontos) Para o problema do pião simétrico, use as equações de Euler para demonstrar a conservação dos momentos angulares do referencial fixo e do corpo. Considere estas quantidades conservadas na equação da energia e, por quadratura, ache a integral de t=t(\theta). Analizando o integrando desta expressão, descreva as possibilidades de nutação.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • Demonstrar, a partir das equações de Euler, que duas componentes do momento angular são conservadas: a componente no referencial do corpo ao longo do eixo de simetria e a componente no referencial fixo ao longo da vertical.
  • Usar essas quantidades conservadas na expressão da energia e, por quadratura, obter a integral t=t(\theta).
  • Analisar o integrando obtido para descrever os possíveis tipos de nutação do pião.
Informações implícitas que vamos usar (padrão do problema do pião simétrico):
  • Momentos de inércia: I_1=I_2=I e I_3 (eixo de simetria é o eixo 3 do corpo).
  • Massa m, aceleração da gravidade g, distância do ponto fixo ao centro de massa l.
  • Usaremos os ângulos de Euler \varphi,\theta,\psi com a convenção usual ( \theta é o ângulo entre o eixo de simetria e_3 e a vertical \hat z ).
  • Objetivo: obter expressão para \dot\theta^2 em função de constantes e então integrar para t(\theta).

Passo 2

Escrever as equações de Euler no referencial do corpo e identificar o torque.
As equações de Euler, escritas nos eixos do corpo, valem (componentes 1,2,3):
I\dot\omega_1+(I_3-I)\,\omega_2\omega_3=M_1,
I\dot\omega_2+(I-I_3)\,\omega_1\omega_3=M_2,
I_3\dot\omega_3=M_3,
onde \omega_i são as componentes da velocidade angular no referencial do corpo e M_i são as componentes do torque externo nesse mesmo referencial.
Para o pião sob a ação do peso com o ponto de apoio fixo, o vetor posição do centro de massa em relação ao ponto fixo é \mathbf r = l\,\mathbf e_3 (em componentes do corpo). O torque é
\boldsymbol{M}=\mathbf r\times(-mg\hat z)=m g l\,\mathbf e_3\times(-\hat z).
Do produto vetorial segue que \boldsymbol{M} é perpendicular ao vetor \mathbf e_3, logo a projeção do torque sobre o eixo \mathbf e_3 é zero. Portanto
M_3=0.
Substituindo na terceira equação de Euler:
I_3\dot\omega_3=0\quad\Rightarrow\quad I_3\omega_3=\text{const.}
Definimos a constante
p_\psi \equiv I_3\omega_3=\text{const},
que é justamente o momento angular na direção do eixo de simetria medido no referencial do corpo. Assim demonstramos a conservação do momento angular do corpo ao longo do eixo de simetria.

Passo 3

Demonstrar a conservação da componente do momento angular no referencial fixo (componente vertical).
A taxa de variação do momento angular total no referencial inercial é igual ao torque externo:
\frac{d\mathbf L}{dt}=\boldsymbol{M}.
Tomando produto escalar com \hat z (vertical) obtemos
\frac{d}{dt}(\mathbf L\cdot\hat z)=\boldsymbol{M}\cdot\hat z.
Mas o torque \boldsymbol{M}=m g l\,\mathbf e_3\times(-\hat z) é perpendicular a \hat z, então \boldsymbol{M}\cdot\hat z=0. Logo
\frac{d}{dt}(\mathbf L\cdot\hat z)=0,
ou seja a componente vertical do momento angular no referencial espacial é conservada. Denotamos essa constante por
p_\varphi \equiv \mathbf L\cdot\hat z = \text{const}.

Passo 4

Expressar \omega_i em termos dos ângulos de Euler e escrever as constantes explicitamente.
As componentes da velocidade angular no referencial do corpo (convenção usual) são
\omega_1=\dot\theta, \qquad \omega_2=\dot\varphi\sin\theta, \qquad \omega_3=\dot\psi+\dot\varphi\cos\theta.
O momento angular no corpo tem componentes
L_1=I\omega_1=I\dot\theta,\qquad L_2=I\omega_2=I\dot\varphi\sin\theta,\qquad L_3=I_3\omega_3=p_\psi.
A componente vertical (no espaço) do momento angular pode ser escrita em termos dessas quantidades (projeção de \mathbf L sobre \hat z):
p_\varphi=\mathbf L\cdot\hat z = I\dot\varphi\sin^2\theta + I_3\omega_3\cos\theta.
Usando p_\psi=I_3\omega_3 obtemos uma expressão para \dot\varphi:
\dot\varphi=\frac{p_\varphi - p_\psi\cos\theta}{I\sin^2\theta}.
Também podemos escrever diretamente
\omega_3=\frac{p_\psi}{I_3}.
Essas duas expressões mostram \dot\varphi e \omega_3 em função das constantes p_\varphi,p_\psi e do ângulo \theta.

Passo 5

Escrever a energia e eliminar \dot\varphi e \omega_3 para obter uma equação para \dot\theta^2.
A energia total (energia potencial + cinética rotacional) é
E=T+V=\frac{1}{2}I(\omega_1^2+\omega_2^2)+\frac{1}{2}I_3\omega_3^2 + m g l\cos\theta.
Substituindo \omega_1=\dot\theta, \omega_2=\dot\varphi\sin\theta e \omega_3=p_\psi/I_3, e usando a expressão de \dot\varphi do passo anterior, obtemos
E=\frac{1}{2}I\dot\theta^2 + \frac{1}{2}I\dot\varphi^2\sin^2\theta + \frac{p_\psi^2}{2I_3} + m g l\cos\theta.
Agora substituir \dot\varphi\sin\theta = \dfrac{p_\varphi - p_\psi\cos\theta}{I\sin\theta}\cdot\sin\theta = \dfrac{p_\varphi - p_\psi\cos\theta}{I} (ou diretamente a expressão de \dot\varphi^2\sin^2\theta):
\frac{1}{2}I\dot\varphi^2\sin^2\theta = \frac{(p_\varphi - p_\psi\cos\theta)^2}{2I\sin^2\theta}\cdot\sin^2\theta\cdot\frac{1}{I}=\frac{(p_\varphi - p_\psi\cos\theta)^2}{2I\;}.
Portanto a energia fica
E=\frac{1}{2}I\dot\theta^2 + \frac{(p_\varphi - p_\psi\cos\theta)^2}{2I} + \frac{p_\psi^2}{2I_3} + m g l\cos\theta.
Reorganizando para isolar \dot\theta^2:
\frac{1}{2}I\dot\theta^2 = E - \frac{(p_\varphi - p_\psi\cos\theta)^2}{2I} - \frac{p_\psi^2}{2I_3} - m g l\cos\theta.
Assim
\dot\theta^2 = \frac{2}{I}\left(E - \frac{p_\psi^2}{2I_3}\right) - \frac{(p_\varphi - p_\psi\cos\theta)^2}{I^2} - \frac{2 m g l}{I}\cos\theta.
Uma forma mais elegante é introduzir o potencial efetivo
V_{\mathrm{eff}}(\theta)=\frac{(p_\varphi - p_\psi\cos\theta)^2}{2I\sin^2\theta}+m g l\cos\theta,
e escrever (após manipular termos) a equação de energia-canônica
\frac{1}{2}I\dot\theta^2 + V_{\mathrm{eff}}(\theta) = E - \frac{p_\psi^2}{2I_3}.

Passo 6

Obter a quadratura t=t(\theta).
A equação para \dot\theta dá a quadratura direta:
t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{d\theta}{\dot\theta} =\int_{\theta_0}^{\theta}\left\{\frac{2}{I}\left[E-\frac{p_\psi^2}{2I_3}-\frac{(p_\varphi - p_\psi\cos\theta)^2}{2I\sin^2\theta}-m g l\cos\theta\right]\right\}^{-1/2}d\theta.
Ou, de forma compacta,
t(\theta)=\int^{\theta}\frac{d\theta}{\sqrt{\dfrac{2}{I}\Big(E-\dfrac{p_\psi^2}{2I_3}-V_{\mathrm{eff}}(\theta)\Big)}}.
Essa é a integral por quadraturas que fornece o tempo em função de \theta. Na prática a integral pode ser expressa em termos elípticos em casos gerais, mas a forma acima já é a quadratura pedida.

Passo 7

Analisar o integrando e descrever as possibilidades de nutação.
Defina a função sob a raiz
F(\theta)\equiv \frac{2}{I}\Big(E-\tfrac{p_\psi^2}{2I_3}-V_{\mathrm{eff}}(\theta)\Big).
A evolução de \theta só é física onde F(\theta)\ge 0. As possibilidades são:
  1. Oscilação limitada (nutação regular):
  • Se F(\theta) tem duas raízes reais \theta_1<\theta_2 com F(\theta)>0 entre elas, então \theta(t) fica limitada a oscilar entre \theta_1 e \theta_2. Esse é o caso típico de nutação: o eixo do pião descreve oscilações em torno de um ângulo médio enquanto o pião précessiona.
  1. Precessão uniforme sem nutação ( \theta= constante):
  • Se existe \theta=\theta_0 tal que F(\theta_0)=0 e F'(\theta_0)=0 (ou equivalentemente dV_{\mathrm{eff}}/d\theta=0), então \theta é uma solução constante — o pião précessa com ângulo fixo (précessão uniforme). Para esse caso a integral degeneraria (a raiz tem ordem dupla) e corresponde a um ponto de equilíbrio do potencial efetivo. Pequenas perturbações produzem pequenas oscilações (pequena nutação) ao redor de \theta_0.
  1. Movimento que atinge os polos ( \theta\to 0 ou \theta\to\pi) — possibilidade de “tombamento” ou passagem pelo vertical:
  • Observe que o termo \dfrac{(p_\varphi - p_\psi\cos\theta)^2}{\sin^2\theta} em V_{\mathrm{eff}} diverge quando \sin\theta\to 0 (isto é, \theta\to 0 ou \pi), salvo se o numerador também for zero nesses pontos. Por exemplo, para \theta\to 0 temos \cos\theta\to 1: se p_\varphi\neq p_\psi o potencial efetivo tende a +\infty e o movimento nunca alcançará \theta=0. Se, porém, p_\varphi=p_\psi, o termo singular desaparece em \theta=0 e é possível (dependendo da energia) que \theta chegue a 0: isso corresponde ao eixo de simetria alinhando-se com a vertical (pião perfeitamente vertical) — caso de giro puro quando também \dot\theta=0. Analogamente para \theta\to\pi exige p_\varphi=-p_\psi para não haver divergência.
  1. Casos limítrofes / separatrizes:
  • Existem condições de energia/c.c. que produzem uma raiz dupla de F, separando regimes qualitativamente diferentes (por exemplo entre nutação limitada e passagem pelo polo). Nessas condições a integral de tempo diverge logaritmicamente próximo ao ponto de virada, sinal de comportamento assintótico (o pião aproxima-se lentamente de um ângulo crítico).
Físicamente:
  • Para giro muito rápido (grande p_\psi) o termo giroscópico domina e V_{\mathrm{eff}} tem um mínimo em ângulos pequenos: o pião é estável próximo da vertical e apresenta pequenas nutações (estabilidade giroscópica).
  • Para giros mais lentos o mínimo pode desaparecer e o pião pode oscilar com amplitude maior ou até “virar” se a energia for suficiente e se as condições sobre p_\varphi,p_\psi permitirem.

Resposta

Conservação: p_\psi\equiv I_3\omega_3= const (componente no corpo) e p_\varphi\equiv\mathbf L\cdot\hat z= const (componente vertical no espaço).
Quadratura:
t(\theta)=\int^{\theta}\frac{d\theta}{\sqrt{\dfrac{2}{I}\Big(E-\dfrac{p_\psi^2}{2I_3}-V_{\mathrm{eff}}(\theta)\Big)}}, \qquad V_{\mathrm{eff}}(\theta)=\frac{(p_\varphi-p_\psi\cos\theta)^2}{2I\sin^2\theta}+m g l\cos\theta.
Possibilidades de nutação:
  • Oscilação limitada entre duas raízes \theta_1,\theta_2 de F(\theta) (nutação regular);
  • Précessão uniforme sem nutação se \theta é ponto crítico de V_{\mathrm{eff}} ( F(\theta_0)=F'(\theta_0)=0);
  • Alcance de \theta=0 ou \pi (alinhamento vertical) só é possível sem divergência se o numerador da fração singular se anula nessas posições ( p_\varphi=\pm p_\psi); caso contrário o termo singular impede \theta de chegar aos polos;
  • Casos limítrofes (raízes duplas) são separatrizes entre regimes e apresentam comportamento assintótico.

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