(2 pontos) Para o problema do pião simétrico, use as equações de Euler para demonstrar a conservação dos momentos angulares do referencial fixo e do corpo. Considere estas quantidades conservadas na equação da energia e, por quadratura, ache a integral de
. Analizando o integrando desta expressão, descreva as possibilidades de nutação.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- Demonstrar, a partir das equações de Euler, que duas componentes do momento angular são conservadas: a componente no referencial do corpo ao longo do eixo de simetria e a componente no referencial fixo ao longo da vertical.
- Usar essas quantidades conservadas na expressão da energia e, por quadratura, obter a integral
. - Analisar o integrando obtido para descrever os possíveis tipos de nutação do pião.
Informações implícitas que vamos usar (padrão do problema do pião simétrico):
- Momentos de inércia:
e (eixo de simetria é o eixo 3 do corpo). - Massa
, aceleração da gravidade , distância do ponto fixo ao centro de massa . - Usaremos os ângulos de Euler
com a convenção usual ( é o ângulo entre o eixo de simetria e a vertical ). - Objetivo: obter expressão para
em função de constantes e então integrar para .
Passo 2
Escrever as equações de Euler no referencial do corpo e identificar o torque.
As equações de Euler, escritas nos eixos do corpo, valem (componentes 1,2,3):
onde
são as componentes da velocidade angular no referencial do corpo e
são as componentes do torque externo nesse mesmo referencial.
Para o pião sob a ação do peso com o ponto de apoio fixo, o vetor posição do centro de massa em relação ao ponto fixo é
(em componentes do corpo). O torque é
Do produto vetorial segue que
é perpendicular ao vetor
, logo a projeção do torque sobre o eixo
é zero. Portanto
Substituindo na terceira equação de Euler:
Definimos a constante
que é justamente o momento angular na direção do eixo de simetria medido no referencial do corpo. Assim demonstramos a conservação do momento angular do corpo ao longo do eixo de simetria.
Passo 3
Demonstrar a conservação da componente do momento angular no referencial fixo (componente vertical).
A taxa de variação do momento angular total no referencial inercial é igual ao torque externo:
Tomando produto escalar com
(vertical) obtemos
Mas o torque
é perpendicular a
, então
. Logo
ou seja a componente vertical do momento angular no referencial espacial é conservada. Denotamos essa constante por
Passo 4
Expressar
em termos dos ângulos de Euler e escrever as constantes explicitamente.
As componentes da velocidade angular no referencial do corpo (convenção usual) são
O momento angular no corpo tem componentes
A componente vertical (no espaço) do momento angular pode ser escrita em termos dessas quantidades (projeção de
sobre
):
Usando
obtemos uma expressão para
:
Também podemos escrever diretamente
Essas duas expressões mostram
e
em função das constantes
e do ângulo
.
Passo 5
Escrever a energia e eliminar
e
para obter uma equação para
.
A energia total (energia potencial + cinética rotacional) é
Substituindo
,
e
, e usando a expressão de
do passo anterior, obtemos
Agora substituir
(ou diretamente a expressão de
):
Portanto a energia fica
Reorganizando para isolar
:
Assim
Uma forma mais elegante é introduzir o potencial efetivo
e escrever (após manipular termos) a equação de energia-canônica
Passo 6
Obter a quadratura
.
A equação para
dá a quadratura direta:
Ou, de forma compacta,
Essa é a integral por quadraturas que fornece o tempo em função de
. Na prática a integral pode ser expressa em termos elípticos em casos gerais, mas a forma acima já é a quadratura pedida.
Passo 7
Analisar o integrando e descrever as possibilidades de nutação.
Defina a função sob a raiz
A evolução de
só é física onde
. As possibilidades são:
- Oscilação limitada (nutação regular):
- Se
tem duas raízes reais com entre elas, então fica limitada a oscilar entre e . Esse é o caso típico de nutação: o eixo do pião descreve oscilações em torno de um ângulo médio enquanto o pião précessiona.
- Precessão uniforme sem nutação (
constante):
- Se existe
tal que e (ou equivalentemente ), então é uma solução constante — o pião précessa com ângulo fixo (précessão uniforme). Para esse caso a integral degeneraria (a raiz tem ordem dupla) e corresponde a um ponto de equilíbrio do potencial efetivo. Pequenas perturbações produzem pequenas oscilações (pequena nutação) ao redor de .
- Movimento que atinge os polos (
ou ) — possibilidade de “tombamento” ou passagem pelo vertical:
- Observe que o termo
em diverge quando (isto é, ou ), salvo se o numerador também for zero nesses pontos. Por exemplo, para temos : se o potencial efetivo tende a e o movimento nunca alcançará . Se, porém, , o termo singular desaparece em e é possível (dependendo da energia) que chegue a : isso corresponde ao eixo de simetria alinhando-se com a vertical (pião perfeitamente vertical) — caso de giro puro quando também . Analogamente para exige para não haver divergência.
- Casos limítrofes / separatrizes:
- Existem condições de energia/c.c. que produzem uma raiz dupla de
, separando regimes qualitativamente diferentes (por exemplo entre nutação limitada e passagem pelo polo). Nessas condições a integral de tempo diverge logaritmicamente próximo ao ponto de virada, sinal de comportamento assintótico (o pião aproxima-se lentamente de um ângulo crítico).
Físicamente:
- Para giro muito rápido (grande
) o termo giroscópico domina e tem um mínimo em ângulos pequenos: o pião é estável próximo da vertical e apresenta pequenas nutações (estabilidade giroscópica). - Para giros mais lentos o mínimo pode desaparecer e o pião pode oscilar com amplitude maior ou até “virar” se a energia for suficiente e se as condições sobre
permitirem.
Resposta
Conservação:
const (componente no corpo) e
const (componente vertical no espaço).
Quadratura:
Possibilidades de nutação:
- Oscilação limitada entre duas raízes
de (nutação regular); - Précessão uniforme sem nutação se
é ponto crítico de ( ); - Alcance de
ou (alinhamento vertical) só é possível sem divergência se o numerador da fração singular se anula nessas posições ( ); caso contrário o termo singular impede de chegar aos polos; - Casos limítrofes (raízes duplas) são separatrizes entre regimes e apresentam comportamento assintótico.