(2 pontos) Use o método da tranformada de Laplace para resolver a equação
x^{\prime \prime}(t)+\omega_{0}^{2} x(t)=F_{0}, \quad x(0)=x_{0}, \quad x^{\prime}(0)=v_{0}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com condição inicial usando a transformada de Laplace. Informações dadas:
  • Equação diferencial: x^{\prime\prime}(t)+\omega_{0}^{2}x(t)=F_{0}.
  • Condições iniciais: x(0)=x_{0},\qquad x^{\prime}(0)=v_{0}.
  • Aqui \omega_{0}, F_{0}, x_{0} e v_{0} são constantes; t é a variável de tempo.
    O objetivo final é obter x(t) válida para t\ge0.

Passo 2

Breve aula sobre a transformada de Laplace e propriedades que vamos usar (sem pular etapas).
  • Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) (assumida razoável) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa. Na prática tratamos s como símbolo algebraico para manipular funções.
  • Transformadas básicas que usaremos:
    • Para uma derivada segunda:
    \mathcal{L}\{x''(t)\}(s)=s^{2}X(s)-s x(0)-x'(0),onde X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}(s).
    • Para uma constante:
    \mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}.
    • Para seno e cosseno (com \omega>0):
    \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}(s)=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}.
  • Regra prática: transformar a EDO em t-espaço vira uma equação algébrica em s; resolver para X(s) e então inverter a transformada termo a termo usando tabelas/identidades.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace à equação dada, usando as propriedades acima e as condições iniciais.
Transformando ambos os lados:
\mathcal{L}\{x''(t)\}(s)+\omega_{0}^{2}\mathcal{L}\{x(t)\}(s)=\mathcal{L}\{F_{0}\}(s).
Substituindo as fórmulas:
\big(s^{2}X(s)-s x_{0}-v_{0}\big)+\omega_{0}^{2}X(s)=\frac{F_{0}}{s}.

Passo 4

Isolar X(s) (arrumar a equação algébrica).
Somando os termos em X(s) e movendo os termos conhecidos para o outro lado:
\big(s^{2}+\omega_{0}^{2}\big)X(s)-s x_{0}-v_{0}=\frac{F_{0}}{s}.
Logo
X(s)=\frac{s x_{0}+v_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}+\frac{F_{0}}{s\big(s^{2}+\omega_{0}^{2}\big)}.
Aqui se vê uma parte homogênea \dfrac{s x_{0}+v_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}} (vem das condições iniciais) e uma parte forçada \dfrac{F_{0}}{s(s^{2}+\omega_{0}^{2})} (vem da força constante).

Passo 5

Inverter a transformada termo a termo. Primeiro, inverter a parte homogênea, usando as transformadas de seno e cosseno já citadas:
  • Note que
\frac{s x_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}
corresponde a x_{0}\cos(\omega_{0}t) porque \mathcal{L}\{\cos(\omega_{0}t)\}=\dfrac{s}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}.
  • E
\frac{v_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}
corresponde a \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t) porque \mathcal{L}\{\sin(\omega_{0}t)\}=\dfrac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}.
Portanto a transformada inversa da primeira fração é
x_{0}\cos(\omega_{0}t)+\frac{v_{0}}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t).

Passo 6

Agora tratar a parte forçada \dfrac{F_{0}}{s(s^{2}+\omega_{0}^{2})}. Fazemos frações parciais para tornar a inversão direta.
Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{F_{0}}{s(s^{2}+\omega_{0}^{2})}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por s(s^{2}+\omega_{0}^{2}) obtemos a identidade polinomial
F_{0}=A\big(s^{2}+\omega_{0}^{2}\big)+(Bs+C)s.
Comparando coeficientes em potências de s:
  • Coeficiente de s^{2}: 0=A+B então B=-A.
  • Coeficiente de s^{1}: 0=C então C=0.
  • Coeficiente constante: F_{0}=A\omega_{0}^{2} então A=\dfrac{F_{0}}{\omega_{0}^{2}}.
Assim B=-\dfrac{F_{0}}{\omega_{0}^{2}} e C=0. Logo a decomposição é
\frac{F_{0}}{s(s^{2}+\omega_{0}^{2})}=\frac{F_{0}}{\omega_{0}^{2}}\cdot\frac{1}{s}-\frac{F_{0}}{\omega_{0}^{2}}\cdot\frac{s}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}.

Passo 7

Inverter cada termo da decomposição:
  • \dfrac{F_{0}}{\omega_{0}^{2}}\cdot\dfrac{1}{s} corresponde à função constante \dfrac{F_{0}}{\omega_{0}^{2}} no tempo, porque \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}.
  • -\dfrac{F_{0}}{\omega_{0}^{2}}\cdot\dfrac{s}{s^{2}+\omega_{0}^{2}} corresponde a -\dfrac{F_{0}}{\omega_{0}^{2}}\cos(\omega_{0}t), usando \mathcal{L}\{\cos(\omega_{0}t)\}=\dfrac{s}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}.
Portanto a parte forçada no domínio do tempo é
\frac{F_{0}}{\omega_{0}^{2}}-\frac{F_{0}}{\omega_{0}^{2}}\cos(\omega_{0}t).

Passo 8

Somando as contribuições homogênea e forçada obtemos a solução completa x(t):
x(t)=x_{0}\cos(\omega_{0}t)+\frac{v_{0}}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t)+\frac{F_{0}}{\omega_{0}^{2}}-\frac{F_{0}}{\omega_{0}^{2}}\cos(\omega_{0}t).
Agrupando termos parecidos (fatorando o cosseno) fica mais claro o papel do regime permanente:
x(t)=\frac{F_{0}}{\omega_{0}^{2}}+\Big(x_{0}-\frac{F_{0}}{\omega_{0}^{2}}\Big)\cos(\omega_{0}t)+\frac{v_{0}}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t).
Explicação física rápida: \dfrac{F_{0}}{\omega_{0}^{2}} é o deslocamento de equilíbrio estático devido à força constante; as parcelas com seno e cosseno são a oscilação livre inicial em torno desse equilíbrio.

Resposta

x(t)=\frac{F_{0}}{\omega_{0}^{2}}+\Big(x_{0}-\frac{F_{0}}{\omega_{0}^{2}}\Big)\cos(\omega_{0}t)+\frac{v_{0}}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t).

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