(2 pontos) Use o método da tranformada de Laplace para resolver a equação
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com condição inicial usando a transformada de Laplace. Informações dadas:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
- Aqui
, , e são constantes; é a variável de tempo.
O objetivo final é obterválida para .
Passo 2
Breve aula sobre a transformada de Laplace e propriedades que vamos usar (sem pular etapas).
- Definição: a transformada de Laplace de uma função
(assumida razoável) é
onde
é uma variável complexa. Na prática tratamos
como símbolo algebraico para manipular funções.
- Transformadas básicas que usaremos:
- Para uma derivada segunda:
onde . - Para uma constante:
- Para seno e cosseno (com
):
- Regra prática: transformar a EDO em
-espaço vira uma equação algébrica em ; resolver para e então inverter a transformada termo a termo usando tabelas/identidades.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação dada, usando as propriedades acima e as condições iniciais.
Transformando ambos os lados:
Transformando ambos os lados:
Substituindo as fórmulas:
Passo 4
Isolar
(arrumar a equação algébrica).
Somando os termos em e movendo os termos conhecidos para o outro lado:
Somando os termos em
Logo
Aqui se vê uma parte homogênea
(vem das condições iniciais) e uma parte forçada
(vem da força constante).
Passo 5
Inverter a transformada termo a termo. Primeiro, inverter a parte homogênea, usando as transformadas de seno e cosseno já citadas:
- Note que
corresponde a
porque
.
- E
corresponde a
porque
.
Portanto a transformada inversa da primeira fração é
Passo 6
Agora tratar a parte forçada
. Fazemos frações parciais para tornar a inversão direta.
Procuramos constantes tais que
Procuramos constantes
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Comparando coeficientes em potências de
:
- Coeficiente de
: então . - Coeficiente de
: então . - Coeficiente constante:
então .
Assim
e
. Logo a decomposição é
Passo 7
Inverter cada termo da decomposição:
-
corresponde à função constante no tempo, porque . -
corresponde a , usando .
Portanto a parte forçada no domínio do tempo é
Passo 8
Somando as contribuições homogênea e forçada obtemos a solução completa
:
Agrupando termos parecidos (fatorando o cosseno) fica mais claro o papel do regime permanente:
Explicação física rápida:
é o deslocamento de equilíbrio estático devido à força constante; as parcelas com seno e cosseno são a oscilação livre inicial em torno desse equilíbrio.