Sem calcular a integral, verificar as seguintes desigualdades:
Passo 1
O enunciado nos dá duas integrais definidas no mesmo intervalo
e pede para verificar a desigualdade sem calcular as integrais. As informações e o que se pede:
- Intervalo de integração:
. - Integrais a comparar:
- Pedido: verificar se
é verdadeiro (sem calcular as integrais).
Passo 2
Conceito útil (explicado de forma simples): se em um intervalo
tivermos duas funções
e
tais que
para todo
, então as integrais satisfazem
Intuição: a integral é a “área algébrica” sob a curva; se uma função está sempre abaixo da outra, a área sob ela é menor ou igual. Vamos usar esse princípio para comparar as integrais sem calculá-las.
Passo 3
Comparar as funções integrandas ponto a ponto no intervalo
.
- A primeira integranda é a função constante
(porque ). - A segunda integranda é
.
Formemos a diferença
para ver qual é maior:
Agora examinamos
para
. Como
varia entre
e
, temos
variando entre
(quando
) e
(quando
). Então o menor valor de
no intervalo ocorre quando
é mínimo, isto é em
:
Portanto
para todo
. Isso significa que, em todo o intervalo,
Passo 4
Aplicando o resultado do Passo 2 (monotonicidade das integrais) com a desigualdade ponto a ponto
obtemos
Ou seja, a desigualdade dada no enunciado com sinal
é falsa. A desigualdade correta é estrita e com o sinal invertido.