Sem calcular a integral, verificar as seguintes desigualdades:
\int_{-2}^{-1} d x \leq \int_{-2}^{-1}\left(-\frac{1}{2}-\frac{x}{4}\right) d x

Passo 1

O enunciado nos dá duas integrais definidas no mesmo intervalo [-2,-1] e pede para verificar a desigualdade sem calcular as integrais. As informações e o que se pede:
  • Intervalo de integração: [-2,-1].
  • Integrais a comparar: \int_{-2}^{-1} d x \qquad\text{e}\qquad \int_{-2}^{-1}\left(-\frac{1}{2}-\frac{x}{4}\right) d x.
  • Pedido: verificar se \int_{-2}^{-1} d x \leq \int_{-2}^{-1}\left(-\frac{1}{2}-\frac{x}{4}\right) d xé verdadeiro (sem calcular as integrais).

Passo 2

Conceito útil (explicado de forma simples): se em um intervalo [a,b] tivermos duas funções f(x) e g(x) tais que f(x)\le g(x) para todo x\in[a,b], então as integrais satisfazem
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \le \int_{a}^{b} g(x)\,dx.
Intuição: a integral é a “área algébrica” sob a curva; se uma função está sempre abaixo da outra, a área sob ela é menor ou igual. Vamos usar esse princípio para comparar as integrais sem calculá-las.

Passo 3

Comparar as funções integrandas ponto a ponto no intervalo [-2,-1].
  • A primeira integranda é a função constante f(x)=1 (porque \int_{-2}^{-1} d x=\int_{-2}^{-1} 1\,dx).
  • A segunda integranda é g(x)=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{4}.
Formemos a diferença h(x)=f(x)-g(x) para ver qual é maior:
h(x)=1-\left(-\frac{1}{2}-\frac{x}{4}\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{x}{4}=\frac{3}{2}+\frac{x}{4}.
Agora examinamos h(x) para x\in[-2,-1]. Como x varia entre -2 e -1, temos \dfrac{x}{4} variando entre -\dfrac{1}{2} (quando x=-2) e -\dfrac{1}{4} (quando x=-1). Então o menor valor de h(x) no intervalo ocorre quando \dfrac{x}{4} é mínimo, isto é em x=-2:
h(x)\ge h(-2)=\frac{3}{2}+\frac{-2}{4}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1.
Portanto h(x)\ge 1>0 para todo x\in[-2,-1]. Isso significa que, em todo o intervalo,
f(x)=1>g(x)=-\frac{1}{2}-\frac{x}{4}.

Passo 4

Aplicando o resultado do Passo 2 (monotonicidade das integrais) com a desigualdade ponto a ponto f(x)>g(x) obtemos
\int_{-2}^{-1} 1\,dx > \int_{-2}^{-1}\left(-\frac{1}{2}-\frac{x}{4}\right)dx.
Ou seja, a desigualdade dada no enunciado com sinal \le é falsa. A desigualdade correta é estrita e com o sinal invertido.

Resposta

\displaystyle \int_{-2}^{-1} d x > \int_{-2}^{-1}\left(-\frac{1}{2}-\frac{x}{4}\right) d x

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