- (2,0 pontos) Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de
sujeita à restrição
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função
sujeita à restrição
Informações dadas:
- A função objetivo é
. - A restrição é a circunferência de raio
: . - Foi pedido explicitamente: usar multiplicadores de Lagrange para obter os extremos.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática e o que cada símbolo significa).
- Quando se procura extremos de
sujeitos a uma restrição , o método dos multiplicadores de Lagrange diz que, num ponto extremo sob a restrição, os gradientes de e de são paralelos. Em fórmulas:
onde
é o multiplicador de Lagrange (uma constante real que ajusta a proporção entre os gradientes).
- Aqui definimos a função de restrição
de modo que a restrição é
.
- Alternativa formal: montar a Lagrangiana
As condições necessárias (sistema) vêm de anular as derivadas parciais:
Explicando cada variável:
-
são as variáveis do problema (coordenadas no plano). -
é o multiplicador; não tem interpretação geométrica complicada aqui além de fazer os gradientes ficarem paralelos. -
é uma função de três variáveis cuja anulação das derivadas nos dá as condições de candidato a extremo.
Passo 3
Aplicando o método: escrevendo a Lagrangiana e calculando derivadas.
Calcule as derivadas parciais e iguale a zero:
Derivada em relação a
:
Então
Derivada em relação a
:
Então
Derivada em relação a
(impor a restrição):
que é exatamente
Passo 4
Expressar
e
em termos de
e substituir na restrição.
Das duas equações lineares obtidas:
Das duas equações lineares obtidas:
Substituindo na restrição
:
Calcule os quadrados com cuidado:
Somando as frações (mesmo denominador
):
Isolando
:
Logo
Passo 5
Encontrar os pontos
correspondentes a cada
.
Para
:
Logo um candidato é
.
Para
:
Outro candidato é
.
Observação rápida: os dois pontos são opostos (antípodas) na circunferência, o que faz sentido porque
é linear em
e numa circunferência extremos ocorrem em pontos antipodais ligados à direção do vetor
.
Passo 6
Avaliar
nos pontos candidatos (contas passo a passo).
Para
:
Para
:
Comparando os valores obtidos,
é o maior e
o menor entre os candidatos; como a restrição é compacta (circunferência fechada) e
contínua, estes são o máximo e o mínimo absolutos sujeitos à restrição.
Resposta
Máximo:
em
Mínimo: em
Mínimo: