1. (2,0 pontos) Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de
f(x, y)=4 x+3 y+1
sujeita à restrição x^{2}+y^{2}=16.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função
f(x,y)=4x+3y+1
sujeita à restrição
x^{2}+y^{2}=16.
Informações dadas:
  • A função objetivo é \,f(x,y)=4x+3y+1.
  • A restrição é a circunferência de raio 4: \,x^{2}+y^{2}=16.
  • Foi pedido explicitamente: usar multiplicadores de Lagrange para obter os extremos.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e o que cada símbolo significa).
  • Quando se procura extremos de f(x,y) sujeitos a uma restrição g(x,y)=0, o método dos multiplicadores de Lagrange diz que, num ponto extremo sob a restrição, os gradientes de f e de g são paralelos. Em fórmulas:
\∇f(x,y)=\lambda\,∇g(x,y),
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange (uma constante real que ajusta a proporção entre os gradientes).
  • Aqui definimos a função de restrição
g(x,y)=x^{2}+y^{2}-16,
de modo que a restrição é g(x,y)=0.
  • Alternativa formal: montar a Lagrangiana
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\,g(x,y).
As condições necessárias (sistema) vêm de anular as derivadas parciais:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}=0.
Explicando cada variável:
  • x,y são as variáveis do problema (coordenadas no plano).
  • \lambda é o multiplicador; não tem interpretação geométrica complicada aqui além de fazer os gradientes ficarem paralelos.
  • \mathcal{L} é uma função de três variáveis cuja anulação das derivadas nos dá as condições de candidato a extremo.

Passo 3

Aplicando o método: escrevendo a Lagrangiana e calculando derivadas.
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=4x+3y+1-\lambda\bigl(x^{2}+y^{2}-16\bigr).
Calcule as derivadas parciais e iguale a zero:
Derivada em relação a x:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=4-\lambda\cdot 2x=0
Então
4-2\lambda x=0\quad\Rightarrow\quad \lambda x=2.
Derivada em relação a y:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=3-\lambda\cdot 2y=0
Então
3-2\lambda y=0\quad\Rightarrow\quad \lambda y=\tfrac{3}{2}.
Derivada em relação a \lambda (impor a restrição):
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}=-(x^{2}+y^{2}-16)=0
que é exatamente
x^{2}+y^{2}=16.

Passo 4

Expressar x e y em termos de \lambda e substituir na restrição.
Das duas equações lineares obtidas:
x=\frac{2}{\lambda},\qquad y=\frac{3}{2\lambda}.
Substituindo na restrição \,x^{2}+y^{2}=16:
\left(\frac{2}{\lambda}\right)^{2}+\left(\frac{3}{2\lambda}\right)^{2}=16.
Calcule os quadrados com cuidado:
\frac{4}{\lambda^{2}}+\frac{9}{4\lambda^{2}}=16.
Somando as frações (mesmo denominador 4\lambda^{2}):
\frac{16+9}{4\lambda^{2}}=\frac{25}{4\lambda^{2}}=16.
Isolando \lambda^{2}:
\lambda^{2}=\frac{25}{64}.
Logo
\lambda=\pm\frac{5}{8}.

Passo 5

Encontrar os pontos (x,y) correspondentes a cada \lambda.
Para \lambda=\dfrac{5}{8}:
x=\frac{2}{\lambda}=2\cdot\frac{8}{5}=\frac{16}{5},\qquad y=\frac{3}{2\lambda}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{5}=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}.
Logo um candidato é \left(\dfrac{16}{5},\dfrac{12}{5}\right).
Para \lambda=-\dfrac{5}{8}:
x=\frac{2}{\lambda}=2\cdot\left(-\frac{8}{5}\right)=-\frac{16}{5},\qquad y=\frac{3}{2\lambda}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{8}{5}\right)=-\frac{12}{5}.
Outro candidato é \left(-\dfrac{16}{5},-\dfrac{12}{5}\right).
Observação rápida: os dois pontos são opostos (antípodas) na circunferência, o que faz sentido porque f é linear em (x,y) e numa circunferência extremos ocorrem em pontos antipodais ligados à direção do vetor (4,3).

Passo 6

Avaliar f nos pontos candidatos (contas passo a passo).
Para \left(\dfrac{16}{5},\dfrac{12}{5}\right):
f\!\left(\frac{16}{5},\frac{12}{5}\right)=4\cdot\frac{16}{5}+3\cdot\frac{12}{5}+1 =\frac{64}{5}+\frac{36}{5}+1 =\frac{100}{5}+1 =20+1=21.
Para \left(-\dfrac{16}{5},-\dfrac{12}{5}\right):
f\!\left(-\frac{16}{5},-\frac{12}{5}\right)=4\cdot\left(-\frac{16}{5}\right)+3\cdot\left(-\frac{12}{5}\right)+1 =-\frac{64}{5}-\frac{36}{5}+1 =-\frac{100}{5}+1 =-20+1=-19.
Comparando os valores obtidos, 21 é o maior e -19 o menor entre os candidatos; como a restrição é compacta (circunferência fechada) e f contínua, estes são o máximo e o mínimo absolutos sujeitos à restrição.

Resposta

Máximo: \,f_{\max}=21 em \left(\dfrac{16}{5},\dfrac{12}{5}\right)
Mínimo: \,f_{\min}=-19 em \left(-\dfrac{16}{5},-\dfrac{12}{5}\right)

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