- ( 2,0 pontos) Considere a superficie dada implicitamente por
Calcule as derivadas
.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície definida implicitamente pela equação
O que ele pede é calcular as derivadas parciais
e
, isto é, as taxas de variação de
em relação a
e a
quando
é vista como função implícita de
e
.
Passo 2
Método escolhido (explicando o porquê de forma curta e didática): usar diferenciação implícita. A ideia é considerar a função
de modo que a superfície é o conjunto de pontos onde
. Se
pode ser vista localmente como função de
e
, então ao diferenciar
em relação a
(mantendo
fixo) usamos a regra da cadeia para obter uma relação linear envolvendo
. O mesmo vale para derivar em relação a
. Isso é mais direto e sistemático do que tentar isolar
explicitamente (o que geralmente é impossível ou trabalhoso).
Passo 3
Explicando a fórmula geral (regra da cadeia aplicada): se
, ao derivar em relação a
mantendo
fixo obtemos
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
tratando
e
como constantes;
é a parcial em relação a
tratando
e
constantes. Isolando
obtemos a fórmula
Analogamente, derivando
em relação a
(mantendo
fixo) vem
ou seja
Obs.: essas fórmulas só fazem sentido quando
no ponto considerado (caso contrário, a função implícita pode não existir localmente ou precisa de tratamento especial).
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
termo a termo. Relembrando que
vamos obter
,
e
, sempre lembrando: ao calcular a parcial em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.
- Para
:
(porque é constante);
(pois não depende de quando é tratado como constante na parcial);
(porque é constante na parcial).
Assim,
Passo 5
Continuando com
:
- Para
:
(porque é constante);
(derivada de é , multiplicada por dá );
(não depende de quando é tratado como constante).
Portanto,
Passo 6
Agora
:
- Para
:
(não depende de );
;
(derivada de é , multiplicada por dá ).
Logo,
Passo 7
Aplicar as fórmulas obtidas para escrever
e
. Usando
e substituindo as parciais calculadas nos passos anteriores, obtemos as expressões finais.
Passo 8
Observação final importante e incentivo: essas expressões estão corretas sempre que o denominador
for diferente de zero. Se em algum ponto específico esse denominador for zero, a existência da função
ou das derivadas requer análise adicional (teorema da função implícita). Vai dar tudo certo — respira, você já sabe o procedimento: calcular as parciais de
, usar a regra da cadeia e aplicar
e
. Força que está indo bem!