1. ( 2,0 pontos) Considere a superficie dada implicitamente por
x^{2} y+2 y^{2} z+3 x z^{2}=4 .
Calcule as derivadas \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{e} \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície definida implicitamente pela equação
x^{2}y + 2y^{2}z + 3xz^{2} = 4.
O que ele pede é calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}, isto é, as taxas de variação de z em relação a x e a y quando z é vista como função implícita de x e y.

Passo 2

Método escolhido (explicando o porquê de forma curta e didática): usar diferenciação implícita. A ideia é considerar a função
F(x,y,z) = x^{2}y + 2y^{2}z + 3xz^{2} - 4,
de modo que a superfície é o conjunto de pontos onde F(x,y,z)=0. Se z pode ser vista localmente como função de x e y, então ao diferenciar F(x,y,z(x,y))=0 em relação a x (mantendo y fixo) usamos a regra da cadeia para obter uma relação linear envolvendo \dfrac{\partial z}{\partial x}. O mesmo vale para derivar em relação a y. Isso é mais direto e sistemático do que tentar isolar z explicitamente (o que geralmente é impossível ou trabalhoso).

Passo 3

Explicando a fórmula geral (regra da cadeia aplicada): se F(x,y,z(x,y))=0, ao derivar em relação a x mantendo y fixo obtemos
\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial x} = 0.
Aqui \dfrac{\partial F}{\partial x} é a derivada parcial de F em relação a x tratando y e z como constantes; \dfrac{\partial F}{\partial z} é a parcial em relação a z tratando x e y constantes. Isolando \dfrac{\partial z}{\partial x} obtemos a fórmula
\frac{\partial z}{\partial x} = -\,\frac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial z}}.
Analogamente, derivando F(x,y,z(x,y))=0 em relação a y (mantendo x fixo) vem
\frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial y} = 0,
ou seja
\frac{\partial z}{\partial y} = -\,\frac{\dfrac{\partial F}{\partial y}}{\dfrac{\partial F}{\partial z}}.
Obs.: essas fórmulas só fazem sentido quando \dfrac{\partial F}{\partial z}\neq 0 no ponto considerado (caso contrário, a função implícita pode não existir localmente ou precisa de tratamento especial).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de F termo a termo. Relembrando que
F(x,y,z) = x^{2}y + 2y^{2}z + 3xz^{2} - 4,
vamos obter \dfrac{\partial F}{\partial x}, \dfrac{\partial F}{\partial y} e \dfrac{\partial F}{\partial z}, sempre lembrando: ao calcular a parcial em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.
  • Para \dfrac{\partial F}{\partial x}:
    \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}y) = 2xy (porque y é constante);
    \dfrac{\partial}{\partial x}(2y^{2}z) = 0 (pois 2y^{2}z não depende de x quando z é tratado como constante na parcial);
    \dfrac{\partial}{\partial x}(3xz^{2}) = 3z^{2} (porque z é constante na parcial).
    Assim, \frac{\partial F}{\partial x} = 2xy + 3z^{2}.

Passo 5

Continuando com \dfrac{\partial F}{\partial y}:
  • Para \dfrac{\partial F}{\partial y}:
    \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}y) = x^{2} (porque x é constante);
    \dfrac{\partial}{\partial y}(2y^{2}z) = 4yz (derivada de y^{2} é 2y, multiplicada por 2z 4yz);
    \dfrac{\partial}{\partial y}(3xz^{2}) = 0 (não depende de y quando z é tratado como constante).
    Portanto, \frac{\partial F}{\partial y} = x^{2} + 4yz.

Passo 6

Agora \dfrac{\partial F}{\partial z}:
  • Para \dfrac{\partial F}{\partial z}:
    \dfrac{\partial}{\partial z}(x^{2}y) = 0 (não depende de z);
    \dfrac{\partial}{\partial z}(2y^{2}z) = 2y^{2};
    \dfrac{\partial}{\partial z}(3xz^{2}) = 6xz (derivada de z^{2} é 2z, multiplicada por 3x 6xz).
    Logo, \frac{\partial F}{\partial z} = 2y^{2} + 6xz.

Passo 7

Aplicar as fórmulas obtidas para escrever \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}. Usando
\frac{\partial z}{\partial x} = -\,\frac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial z}}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\,\frac{\dfrac{\partial F}{\partial y}}{\dfrac{\partial F}{\partial z}},
e substituindo as parciais calculadas nos passos anteriores, obtemos as expressões finais.

Passo 8

Observação final importante e incentivo: essas expressões estão corretas sempre que o denominador \dfrac{\partial F}{\partial z}=2y^{2}+6xz for diferente de zero. Se em algum ponto específico esse denominador for zero, a existência da função z(x,y) ou das derivadas requer análise adicional (teorema da função implícita). Vai dar tudo certo — respira, você já sabe o procedimento: calcular as parciais de F, usar a regra da cadeia e aplicar \dfrac{\partial z}{\partial x}=-F_x/F_z e \dfrac{\partial z}{\partial y}=-F_y/F_z. Força que está indo bem!

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\,\frac{2xy + 3z^{2}}{2y^{2} + 6xz}
\frac{\partial z}{\partial y} = -\,\frac{x^{2} + 4yz}{2y^{2} + 6xz}

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