(2,0 pontos) Use o Teorema do valor intermediário para mostrar que a função
f(x)=\operatorname{sen} x+x^{3}
possui um zero no intervalo [-\pi / 2, \pi / 2].

Passo 1

O enunciado pede que eu use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a função
f(x)=\operatorname{sen}x + x^{3}
possui um zero no intervalo [- \pi/2,\; \pi/2].
Informações dadas e objetivo:
  • A função é f(x)=\operatorname{sen}x + x^{3}.
  • O intervalo considerado é [- \pi/2,\; \pi/2].
  • Preciso provar que existe pelo menos um ponto c nesse intervalo tal que f\text{(c)}=0.

Passo 2

Lembrando o que o Teorema do Valor Intermediário (TVI) exige: se uma função g é contínua em um intervalo fechado [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (ou seja, g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0.
Vou verificar as hipóteses do TVI para f no intervalo dado.

Passo 3

Verificação da continuidade de f.
  • A função x\mapsto \operatorname{sen}x é contínua para todo x.
  • A função x\mapsto x^{3} é um polinômio, portanto contínua para todo x.
  • Soma de funções contínuas é contínua.
Logo, f(x)=\operatorname{sen}x + x^{3} é contínua em todo \mathbb{R}, em particular é contínua no intervalo [- \pi/2,\; \pi/2]. Assim a hipótese de continuidade do TVI está satisfeita.

Passo 4

Calcular f nos extremos do intervalo e verificar os sinais.
Calculo em x=-\pi/2:
f\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)+\left(-\frac{\pi}{2}\right)^{3}.
Sabendo que \operatorname{sen}\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1, obtemos
f\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1 - \frac{\pi^{3}}{8}.
Como \frac{\pi^{3}}{8}>0, segue que
f\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1 - \frac{\pi^{3}}{8}<0.
Calculo em x=\pi/2:
f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{2}\right)^{3}.
Como \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, temos
f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 + \frac{\pi^{3}}{8}>0.
Portanto os valores em extremos têm sinais opostos:
f\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)<0\quad\text{e}\quad f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)>0,
ou seja,
f\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)\cdot f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)<0.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Valor Intermediário: como f é contínua em [- \pi/2,\; \pi/2] e os valores nos extremos têm sinais opostos, existe pelo menos um ponto c\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) tal que
f\text{(c)}=0.

Resposta

Existe c\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) tal que f\text{(c)}=0.

Exercícios relacionados