(2,0 pontos) Use o Teorema do valor intermediário para mostrar que a função
possui um zero no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede que eu use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a função
possui um zero no intervalo
.
Informações dadas e objetivo:
- A função é
. - O intervalo considerado é
. - Preciso provar que existe pelo menos um ponto
nesse intervalo tal que .
Passo 2
Lembrando o que o Teorema do Valor Intermediário (TVI) exige: se uma função
é contínua em um intervalo fechado
e
e
têm sinais opostos (ou seja,
), então existe pelo menos um
tal que
.
Vou verificar as hipóteses do TVI para
no intervalo dado.
Passo 3
Verificação da continuidade de
.
- A função
é contínua para todo . - A função
é um polinômio, portanto contínua para todo . - Soma de funções contínuas é contínua.
Logo,
é contínua em todo
, em particular é contínua no intervalo
. Assim a hipótese de continuidade do TVI está satisfeita.
Passo 4
Calcular
nos extremos do intervalo e verificar os sinais.
Calculo em
:
Sabendo que
, obtemos
Como
, segue que
Calculo em
:
Como
, temos
Portanto os valores em extremos têm sinais opostos:
ou seja,
Passo 5
Aplicando o Teorema do Valor Intermediário: como
é contínua em
e os valores nos extremos têm sinais opostos, existe pelo menos um ponto
tal que
Resposta
Existe
tal que
.