1. (1,5 pontos) Vapor a T_{\infty I}=320^{\circ} \mathrm{C} escoa no interior de um tubo de ferro fundido ( k =80 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}) cujos diâmetros interno e externo são de D_{l}=5 \mathrm{~cm} e D_{2}=7,5 \mathrm{~cm}, respectivamente. O tubo tem isolamento de lã de vidro de 3 cm de espessura ( k=0,05 W/mK). Entre as camadas da superfície externa do tubo e do isolamento de lã de vidro, existe um espaço contendo ar estagnado ( k_{a r}=0,026 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, h_{a r}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} ) de 10 mm de espessura. O calor é perdido para o meio a T_{\infty 2}=278 \mathrm{~K} por convecção natural, com coeficiente de transferência de calor de h_{2}=18 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Sendo o coeficiente de transferência de calor por convecção no interior do tubo igual a h_{l}=60 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}, determine a taxa de perda de calor a partir do vapor por unidade de comprimento do tubo. Determine também a variação de temperatura entre as superfícies interna e externa da tubulação metálica e entre as superficies da camada de isolamento.

Passo 1

O enunciado trata de transmissão de calor em série, em geometria cilíndrica, envolvendo as seguintes camadas por unidade de comprimento do tubo:
– Convecção interna do vapor para a parede interna do tubo;
– Condução através da parede cilíndrica do tubo de ferro fundido;
– Convecção do tubo para o ar estagnado do gap interno;
– Condução através do ar estagnado de espessura 10 mm;
– Convecção do ar para a superfície interna da lã de vidro;
– Condução através da lã de vidro de 3 cm;
– Convecção natural na face externa do isolamento para o ambiente.
Temperaturas de contorno: interior T_{\infty1}=320\,^\circ\mathrm C e ambiente T_{\infty2}=278\,\mathrm K (equivale a 5\,^\circ\mathrm C).
Dados geométricos e térmicos:
\displaystyle D_i=0{,}05\\ \mathrm m,\quad D_2=0{,}075\\ \mathrm m,\quad k_{\rm tubo}=80\\ \mathrm{W/mK},
\displaystyle\text{gap de ar: }d_{\rm ar}=0{,}01\\ \mathrm m,\\ k_{\rm ar}=0{,}026\\ \mathrm{W/mK},\\ h_{\rm ar}=5\\ \mathrm{W/m^2K},
\displaystyle\text{isolamento: }d_{\rm ins}=0{,}03\\ \mathrm m,\\ k_{\rm ins}=0{,}05\\ \mathrm{W/mK},\\ h_2=18\\ \mathrm{W/m^2K},\\ h_1=60\\ \mathrm{W/m^2K}.
Aplicaremos o método de resistências térmicas em série para geometria cilíndrica.

Passo 2

Definimos as seguintes resistências por metro de comprimento ( L=1\\ \mathrm m) e os raios:
r_i=\frac{D_i}{2}=0{,}025\\ \mathrm m,\quad r_o=\frac{D_2}{2}=0{,}0375\\ \mathrm m,\quad r_{g,\mathrm{out}}=r_o+d_{\rm ar}=0{,}0475\\ \mathrm m,\quad r_{\rm ins,out}=r_{g,\mathrm{out}}+d_{\rm ins}=0{,}0775\\ \mathrm m.
As resistências são:
R_{\rm conv,i}=\frac{1}{h_1\,(2\pi r_i L)}, \quad R_{\rm cond,tubo}=\frac{\ln\bigl(r_o/r_i\bigr)}{2\pi k_{\rm tubo}L},
R_{\rm conv,ar1}=\frac{1}{h_{\rm ar}\,(2\pi r_o L)}, \quad R_{\rm cond,ar}=\frac{\ln\bigl(r_{g,\mathrm{out}}/r_o\bigr)}{2\pi k_{\rm ar}L}, \quad R_{\rm conv,ar2}=\frac{1}{h_{\rm ar}\,(2\pi r_{g,\mathrm{out}}L)},
R_{\rm cond,ins}=\frac{\ln\bigl(r_{\rm ins,out}/r_{g,\mathrm{out}}\bigr)}{2\pi k_{\rm ins}L}, \quad R_{\rm conv,2}=\frac{1}{h_2\,(2\pi r_{\rm ins,out}L)}.

Passo 3

Calculamos numericamente cada resistência (valores em K/W·m):
R_{\rm conv,i}=\frac{1}{60\,(2\pi\cdot0{,}025\cdot1)}\approx0{,}1061, \quad R_{\rm cond,tubo}=\frac{\ln(0{,}0375/0{,}025)}{2\pi\cdot80\cdot1}\approx0{,}000807,
R_{\rm conv,ar1}=\frac{1}{5\,(2\pi\cdot0{,}0375)}\approx0{,}8485, \quad R_{\rm cond,ar}=\frac{\ln(0{,}0475/0{,}0375)}{2\pi\cdot0{,}026}\approx1{,}447, \quad R_{\rm conv,ar2}=\frac{1}{5\,(2\pi\cdot0{,}0475)}\approx0{,}670,
R_{\rm cond,ins}=\frac{\ln(0{,}0775/0{,}0475)}{2\pi\cdot0{,}05}\approx1{,}558, \quad R_{\rm conv,2}=\frac{1}{18\,(2\pi\cdot0{,}0775)}\approx0{,}1141.

Passo 4

A resistência total por metro é
R_{\rm tot}=\sum R \approx0{,}1061+0{,}0008+0{,}8485+1{,}447+0{,}670+1{,}558+0{,}1141 \approx4{,}744\\ \mathrm{K/W\cdot m}.
A diferença de temperatura entre as fontes é
\displaystyle\Delta T=320-5=315\\ \mathrm K.
Logo, a taxa de perda de calor por metro é
\dot Q'=\frac{\Delta T}{R_{\rm tot}} \approx\frac{315}{4{,}744}\approx66{,}4\\ \mathrm{W/m}.

Passo 5

As quedas de temperatura nas camadas condutoras são:
– Tubo de ferro:
\Delta T_{\rm tubo} =\dot Q'\,R_{\rm cond,tubo} \approx66{,}4\times0{,}000807\approx0{,}054\\ \mathrm K.
– Lã de vidro:
\Delta T_{\rm ins} =\dot Q'\,R_{\rm cond,ins} \approx66{,}4\times1{,}558\approx103{,}4\\ \mathrm K.

Resposta

Taxa de perda de calor por unidade de comprimento:
\dot Q'\approx66{,}4\\ \mathrm{W/m}.
Variação de temperatura entre superfícies interna e externa da tubulação metálica:
\Delta T_{\rm tubo}\approx0{,}054\\ \mathrm K.
Variação de temperatura entre as superfícies da camada de isolamento:
\Delta T_{\rm ins}\approx103{,}4\\ \mathrm K.

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