(2,5 pontos) Verifique que
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: queremos verificar que a integral definida de
a
de
em relação a
é igual a
, onde
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo de integrais impróprias e substituições trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que a integral é imprópria devido ao limite superior de
. Para facilitar a resolução, faremos uma substituição trigonométrica. Vamos definir
, onde
varia de
a
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 4
Simplificamos a expressão dentro da integral. Sabemos que
, então:
Substituindo na integral:
Passo 5
Calculamos a integral de
:
Avaliando de
a
:
Portanto: