(2,5 pontos) Verifique que
integral0^infty 1(x^2+a^2)^2 d x=pi4 a^3, se a>0

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: queremos verificar que a integral definida de a de em relação a é igual a , onde . Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo de integrais impróprias e substituições trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a integral é imprópria devido ao limite superior de . Para facilitar a resolução, faremos uma substituição trigonométrica. Vamos definir , onde varia de a .

Passo 3

Calculamos a derivada de dx = a sec^2 theta , dtheta em relação a integral0^infty 1(x^2 + a^2)^2 , dx = integral0^pi2 1(a^2 tan^2 theta + a^2)^2 cdot a sec^2 theta , dtheta :
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro da integral. Sabemos que a^2 tan^2 theta + a^2 = a^2 (tan^2 theta + 1) = a^2 sec^2 theta , então:
integral0^pi2 1(a^2 sec^2 theta)^2 cdot a sec^2 theta , dtheta = integral0^pi2 aa^4 sec^4 theta cdot sec^2 theta , dtheta = 1a^3 integral0^pi2 cos^2 theta , dtheta
Substituindo na integral:

Passo 5

Calculamos a integral de integral cos^2 theta , dtheta = theta2 + sin 2theta4 + C :
pi22 + sin pi4 - (0 + sin 04) = pi4
Avaliando de 1a^3 cdot pi4 = pi4 a^3 a :
Portanto:

Resposta

integral0^infty 1(x^2+a^2)^2 , dx = pi4 a^3

Exercícios relacionados