1,5 ponto) Se f(z) = 1 / (z * (z^2 + 1) * (z - 2)^2), encontre Res(f ; 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar o resíduo da função no ponto . Isso está dentro do conteúdo de Análise Complexa, especificamente sobre resíduos de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender o que é um resíduo e como calculá-lo em casos de polos de ordem maior.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um resíduo. O resíduo de uma função em um ponto específico é o coeficiente de no desenvolvimento em série de Laurent da função ao redor desse ponto . É uma ferramenta super útil para avaliar integrais complexas.

Passo 3

No nosso caso, é um polo de ordem 2 (ou seja, um polo duplo) da função . Para encontrar o resíduo em um polo de ordem , usamos a fórmula:
Como aqui , a fórmula fica:

Passo 4

Vamos calcular :
Agora, precisamos derivar essa expressão em relação a e depois avaliar o limite quando se aproxima de 2.

Passo 5

Derivando :
Usando a regra do quociente:
Agora, avaliamos o limite quando :

Resposta

O resíduo de no ponto é .

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