1- (1.5 pontos) Verifique se a sequência (-1)^n n sen pinn=1^infty converge e em caso afirmativo, encontre para qual valor.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na sequência que precisamos analisar: (-1)^n n sen pinn=1^infty. O objetivo aqui é verificar se essa sequência converge, ou seja, se ela se aproxima de algum valor específico quando o valor de n cresce indefinidamente. Para isso, vamos precisar entender como o termo n sen pin se comporta quando n tende ao infinito e como o fator (-1)^n afeta esse comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo n sen pin. Sabemos que, para valores pequenos de x, o seno de x pode ser aproximado por x (isto é, sen x approx x quando x é próximo de 0). Como n está tendendo ao infinito, pin está tendendo a 0. Portanto, podemos escrever:
sen pin approx pin

Passo 3

Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
n sen pin approx n cdot pin = pi
Isso nos mostra que, à medida que n aumenta, n sen pin se aproxima de pi.

Passo 4

Agora, vamos considerar o fator (-1)^n. Esse termo alterna o sinal da sequência a cada incremento de n:
  • Para n par, (-1)^n = 1
  • Para n ímpar, (-1)^n = -1
Então, a sequência completa fica alternando entre pi e -pi conforme n aumenta.

Passo 5

Para que a sequência converge, ela precisa se aproximar de um único valor específico. No nosso caso, a sequência está oscilando entre pi e -pi sem se estabilizar em um único valor. Portanto, apesar de n sen pin se aproximar de pi, o fator (-1)^n faz com que a sequência não convirja para nenhum valor específico.

Resposta

A sequência (-1)^n n sen pinn=1^infty não converge.

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