1- (1.5 pontos) Verifique se a sequência
converge e em caso afirmativo, encontre para qual valor.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na sequência que precisamos analisar:
. O objetivo aqui é verificar se essa sequência converge, ou seja, se ela se aproxima de algum valor específico quando o valor de
cresce indefinidamente. Para isso, vamos precisar entender como o termo
se comporta quando
tende ao infinito e como o fator
afeta esse comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo
. Sabemos que, para valores pequenos de
, o seno de
pode ser aproximado por
(isto é,
quando
é próximo de 0). Como
está tendendo ao infinito,
está tendendo a 0. Portanto, podemos escrever:
Passo 3
Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
Isso nos mostra que, à medida que
aumenta,
se aproxima de
.
Passo 4
Agora, vamos considerar o fator
. Esse termo alterna o sinal da sequência a cada incremento de
:
- Para
par, - Para
ímpar,
Então, a sequência completa fica alternando entre
e
conforme
aumenta.
Passo 5
Para que a sequência converge, ela precisa se aproximar de um único valor específico. No nosso caso, a sequência está oscilando entre
e
sem se estabilizar em um único valor. Portanto, apesar de
se aproximar de
, o fator
faz com que a sequência não convirja para nenhum valor específico.
Resposta
A sequência
não converge.