Beleza, vamos resolver esse exercício de inversão da ordem de integração. A gente tem a integral dupla . O conteúdo envolvido aqui é o de cálculo de integrais duplas e, mais especificamente, a troca da ordem de integração. Vamos precisar entender os limites de integração e como desenhar a região de integração no plano xy.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de a 1. Isso significa que a curva delimita a parte inferior da região. Vamos desenhar isso:
Desenhe o eixo de 0 a 1.
Para cada , começa em e vai até 1.
A curva vai de (0,0) a (1,1).
Passo 3
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Observando a curva , podemos reescrever como . Então, para um dado , vai de 0 até . Além disso, varia de 0 a 1.
Passo 4
Com isso, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Agora, vamos resolver essa nova integral.
Passo 5
Vamos calcular a integral interna em relação a :
Para integrar em relação a , podemos expandir o quadrado:
Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Passo 6
Agora, substituímos a integral interna resolvida de volta na integral externa: