Inverter a ordem de integração em integral0^1 integralraizx^1(x+y)^2 dydx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de inversão da ordem de integração. A gente tem a integral dupla integral0^1 integralraizx^1 (x + y)^2 , dy , dx. O conteúdo envolvido aqui é o de cálculo de integrais duplas e, mais especificamente, a troca da ordem de integração. Vamos precisar entender os limites de integração e como desenhar a região de integração no plano xy.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos x variando de 0 a 1 e, para cada x, y varia de raizx a 1. Isso significa que a curva y = raizx delimita a parte inferior da região. Vamos desenhar isso:
  • Desenhe o eixo x de 0 a 1.
  • Para cada x, y começa em raizx e vai até 1.
  • A curva y = raizx vai de (0,0) a (1,1).

Passo 3

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar x em termos de y. Observando a curva y = raizx, podemos reescrever como x = y^2. Então, para um dado y, x vai de 0 até y^2. Além disso, y varia de 0 a 1.

Passo 4

Com isso, a integral com a ordem de integração invertida fica:
integral0^1 integral0^y^2 (x + y)^2 , dx , dy
Agora, vamos resolver essa nova integral.

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em relação a x:
integral0^y^2 (x + y)^2 , dx
Para integrar (x + y)^2 em relação a x, podemos expandir o quadrado:
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
Agora, integramos termo a termo:
integral0^y^2 x^2 , dx + 2y integral0^y^2 x , dx + y^2 integral0^y^2 dx
Calculando cada integral:
(y^2)^33 + 2y cdot (y^2)^22 + y^2 cdot y^2 = y^63 + y^5 + y^4

Passo 6

Agora, substituímos a integral interna resolvida de volta na integral externa:
integral0^1 ( y^63 + y^5 + y^4 ) dy
Vamos integrar termo a termo novamente:
13 cdot y^77 + y^66 + y^55 g|0^1
Calculando os limites de 0 a 1:
121 + 16 + 15 = 10210 + 35210 + 42210 = 87210
Simplificando a fração:
87210 = 2970

Resposta

O valor final da integral é 2970.

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