Uma população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho.
a) Formule a equação diferencial do modelo
b) Explique qualitativamente o comportamento das soluções

Passo 1

O enunciado dá uma regra verbal: “Uma população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho.”
O que se pede:
  • (a) Escrever a equação diferencial que representa essa regra.
  • (b) Explicar qualitativamente como se comportam as soluções dessa equação (o que acontece com a população no tempo, dependendo dos parâmetros e da condição inicial).
Informações relevantes dadas (tudo que temos para trabalhar):
  • A taxa de variação da população é proporcional ao tamanho da população.
  • Não há números específicos (apenas a relação proporcional).
  • Podemos usar uma condição inicial genérica N(0)=N_0 para fixar a constante de integração.

Passo 2

Traduzir a frase “taxa proporcional ao tamanho” para matemática.
  • Seja N(t) o tamanho da população no tempo t.
  • “Taxa” significa a derivada temporal \dfrac{dN}{dt}.
  • "Proporcional a N" quer dizer que existe uma constante r tal que a taxa é igual a r vezes N.
Portanto a equação matemática fica:
\frac{dN}{dt} = r\,N,
onde:
  • \dfrac{dN}{dt} é a taxa instantânea de variação da população (unidade: indivíduos por unidade de tempo),
  • N é a população no instante t,
  • r é a constante de proporcionalidade (unidade: inverso do tempo).
    Observação sobre o sinal de r: se r>0 temos crescimento; se r<0 temos decaimento; se r=0 a população é constante.

Passo 3

Resolver a equação diferencial passo a passo (saber resolver é crucial para a prova).
A equação \dfrac{dN}{dt}=rN é separável: podemos escrever
\frac{1}{N}\,dN = r\,dt.
Agora integramos ambos os lados (integrais indefinidas):
\int \frac{1}{N}\,dN = \int r\,dt.
As integrais são básicas:
\ln|N| = r t + C,
onde C é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
|N| = e^{C}e^{r t}.
Escrevendo A = e^{C}>0 e lembrando que população é não negativa, tomamos N(t)=A e^{rt}. Aplicando a condição inicial N(0)=N_0 obtém-se A=N_0. Logo a solução geral com condição inicial é:
N(t) = N_0 e^{r t}.

Passo 4

Interpretar a solução e explicar cada termo para saber usar isso na prova.
  • N_0 é o tamanho da população no instante inicial t=0.
  • e^{r t} é o fator de crescimento/decrescimento exponencial.
  • A razão por que aparece exponencial: a taxa relativa \dfrac{1}{N}\dfrac{dN}{dt} é constante e igual a r:
\frac{1}{N}\frac{dN}{dt} = r.
Isso significa que, por unidade de população, a fração que se acrescenta por unidade de tempo é sempre r — o mecanismo de realimentação leva a crescimento ou decaimento exponencial.

Passo 5

Explicar qualitativamente os comportamentos possíveis (casos importantes) e como verificar rapidamente no exame.
Caso r>0 (crescimento exponencial):
  • N(t)=N_0 e^{r t} cresce sem limite quando t\to\infty: \lim_{t\to\infty}N(t)=\infty.
  • A população é estritamente crescente porque \dfrac{dN}{dt}=rN>0.
  • Tempo de duplicação (doubling time) é dado por T_d tal que N(t+T_d)=2N(t). Calcula-se:
e^{rT_d}=2 \quad\Rightarrow\quad T_d=\frac{\ln 2}{r}.
Caso r=0 (taxa nula):
  • \dfrac{dN}{dt}=0 e portanto N(t)=N_0 constante no tempo.
Caso r<0 (decrescimento exponencial):
  • N(t)=N_0 e^{r t} tende a zero quando t\to\infty: \lim_{t\to\infty}N(t)=0.
  • A população é estritamente decrescente porque \dfrac{dN}{dt}=rN<0.
  • Tempo de meia-vida (half-life) é T_{1/2} tal que N(t+T_{1/2})=\tfrac{1}{2}N(t). Calcula-se:
e^{rT_{1/2}}=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad T_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{r}=\frac{-\ln 2}{|r|}.
Observação prática: sempre que vir \dfrac{dN}{dt}=rN no exame, já pode escrever a solução N(t)=N_0 e^{rt} e comentar o sinal de r para o comportamento qualitativo.

Passo 6

Exemplos numéricos rápidos para fixar (úteis na prova para justificar respostas):
  • Se N_0=100 e r=0,05 (crescimento de 5\% ao tempo unitário), então N(t)=100 e^{0,05t}. A duplicação leva T_d=\dfrac{\ln 2}{0,05}\approx 13{,}86 unidades de tempo.
  • Se N_0=500 e r=-0,1, então N(t)=500 e^{-0,1t}. A meia-vida é T_{1/2}=\dfrac{\ln(1/2)}{-0,1}\approx 6{,}93 unidades de tempo.

Passo 7

Limitações e para quando usar outro modelo (dica de prova):
  • O modelo \dfrac{dN}{dt}=rN assume crescimento ilimitado proporcional ao tamanho, sem restrição de recursos. Em muitos problemas reais isto só vale por curtos intervalos de tempo.
  • Se houver capacidade de suporte (recursos limitados), o modelo apropriado é o logístico \dfrac{dN}{dt}=rN\left(1-\dfrac{N}{K}\right), onde K é a capacidade de suporte. Mencionar isso pode ganhar ponto extra ao justificar que o modelo exponencial é idealizado.

Resposta

(a) \dfrac{dN}{dt}=rN.
(b) As soluções são N(t)=N_0 e^{rt}. Se r>0 há crescimento exponencial ( N\to\infty quando t\to\infty); se r=0 a população é constante N(t)=N_0; se r<0 há decaimento exponencial ( N\to0 quando t\to\infty).

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