Uma população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho.
a) Formule a equação diferencial do modelo
b) Explique qualitativamente o comportamento das soluções
a) Formule a equação diferencial do modelo
b) Explique qualitativamente o comportamento das soluções
Passo 1
O enunciado dá uma regra verbal: “Uma população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho.”
O que se pede:
O que se pede:
- (a) Escrever a equação diferencial que representa essa regra.
- (b) Explicar qualitativamente como se comportam as soluções dessa equação (o que acontece com a população no tempo, dependendo dos parâmetros e da condição inicial).
Informações relevantes dadas (tudo que temos para trabalhar):
- A taxa de variação da população é proporcional ao tamanho da população.
- Não há números específicos (apenas a relação proporcional).
- Podemos usar uma condição inicial genérica
para fixar a constante de integração.
Passo 2
Traduzir a frase “taxa proporcional ao tamanho” para matemática.
- Seja
o tamanho da população no tempo . - “Taxa” significa a derivada temporal
. - "Proporcional a
" quer dizer que existe uma constante tal que a taxa é igual a vezes .
Portanto a equação matemática fica:
onde:
-
é a taxa instantânea de variação da população (unidade: indivíduos por unidade de tempo), -
é a população no instante , -
é a constante de proporcionalidade (unidade: inverso do tempo).
Observação sobre o sinal de: se temos crescimento; se temos decaimento; se a população é constante.
Passo 3
Resolver a equação diferencial passo a passo (saber resolver é crucial para a prova).
A equação é separável: podemos escrever
A equação
Agora integramos ambos os lados (integrais indefinidas):
As integrais são básicas:
onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Escrevendo
e lembrando que população é não negativa, tomamos
. Aplicando a condição inicial
obtém-se
. Logo a solução geral com condição inicial é:
Passo 4
Interpretar a solução e explicar cada termo para saber usar isso na prova.
-
é o tamanho da população no instante inicial . -
é o fator de crescimento/decrescimento exponencial. - A razão por que aparece exponencial: a taxa relativa
é constante e igual a :
Isso significa que, por unidade de população, a fração que se acrescenta por unidade de tempo é sempre
— o mecanismo de realimentação leva a crescimento ou decaimento exponencial.
Passo 5
Explicar qualitativamente os comportamentos possíveis (casos importantes) e como verificar rapidamente no exame.
Caso
(crescimento exponencial):
-
cresce sem limite quando : . - A população é estritamente crescente porque
. - Tempo de duplicação (doubling time) é dado por
tal que . Calcula-se:
Caso
(taxa nula):
-
e portanto constante no tempo.
Caso
(decrescimento exponencial):
-
tende a zero quando : . - A população é estritamente decrescente porque
. - Tempo de meia-vida (half-life) é
tal que . Calcula-se:
Observação prática: sempre que vir
no exame, já pode escrever a solução
e comentar o sinal de
para o comportamento qualitativo.
Passo 6
Exemplos numéricos rápidos para fixar (úteis na prova para justificar respostas):
- Se
e (crescimento de ao tempo unitário), então . A duplicação leva unidades de tempo. - Se
e , então . A meia-vida é unidades de tempo.
Passo 7
Limitações e para quando usar outro modelo (dica de prova):
- O modelo
assume crescimento ilimitado proporcional ao tamanho, sem restrição de recursos. Em muitos problemas reais isto só vale por curtos intervalos de tempo. - Se houver capacidade de suporte (recursos limitados), o modelo apropriado é o logístico
, onde é a capacidade de suporte. Mencionar isso pode ganhar ponto extra ao justificar que o modelo exponencial é idealizado.
Resposta
(a)
.
(b) As soluções são
. Se
há crescimento exponencial (
quando
); se
a população é constante
; se
há decaimento exponencial (
quando
).