Verifique se a função
y(t)=C e^{2 t}
é solução da equação diferencial
y^{\prime}=2 y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y(t)=C e^{2 t}
é solução da equação diferencial
y' = 2y.
Informações dadas:
  • A função candidata é y(t)=C e^{2 t}, onde C é uma constante (sem especificar, presume-se C\in\mathbb{R}).
  • A equação a verificar é y' = 2y.
    O objetivo aqui é calcular y' e comparar com 2y para ver se são iguais.

Passo 2

Relembrando regras de diferenciação que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • Regra do fator constante: se k é constante e f(t) é função, então \dfrac{d}{dt}\big(k f(t)\big)=k\,f'(t). Aqui C é um fator constante.
  • Regra da cadeia para exponenciais: se u(t) é função de t, então \dfrac{d}{dt}e^{u(t)}=u'(t)\,e^{u(t)}. No nosso caso u(t)=2t, cuja derivada é u'(t)=2.
  • Juntando as duas: a derivada de C e^{2t} será C vezes a derivada de e^{2t}, e essa última é 2 e^{2t}.

Passo 3

Vamos calcular a derivada passo a passo.
Começando de
y(t)=C e^{2t},
aplicando a regra do fator constante:
y'(t)=C\cdot\frac{d}{dt}\big(e^{2t}\big).
Agora aplicando a regra da cadeia à exponencial \,e^{2t}\, (pois a derivada de 2t é 2):
\frac{d}{dt}\big(e^{2t}\big)=2 e^{2t}.
Substituindo na expressão de y'(t):
y'(t)=C\cdot\big(2 e^{2t}\big)=2C e^{2t}.

Passo 4

Calcular 2y(t) para comparar:
2y(t)=2\big(C e^{2t}\big)=2C e^{2t}.
Observa-se que
y'(t)=2C e^{2t}=2y(t).
Portanto a igualdade exigida pela equação diferencial é satisfeita.

Passo 5

Conclusão do teste: a função y(t)=C e^{2t} satisfaz y'=2y para qualquer constante C. Isso inclui C=0, caso em que a solução é a solução trivial y(t)\equiv 0.

Passo 6

Comentário adicional (útil para a prova): a equação y'=2y é separável. Resolvend a separável para ver que não estamos só verificando um caso particular, mas obtendo a família geral:
\frac{dy}{dt}=2y\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{y}=2\,dt.
Integrando ambos os lados:
\int\frac{dy}{y}=\int 2\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln|y|=2t+K,
onde K é constante de integração. Exponenciando:
|y|=e^{K}e^{2t}\quad\Rightarrow\quad y=C e^{2t},
com C=\pm e^{K} uma constante arbitrária. Isso confirma que y(t)=C e^{2t} é a solução geral da equação.

Passo 7

Dica rápida para a prova: ao verificar se uma função é solução de uma EDO ordinária, proceda sempre assim, em ordem:
  1. Diferencie a função candidata.
  2. Calcule o lado direito da EDO usando a função candidata.
  3. Compare os dois lados; se forem identicamente iguais (para todos t no domínio), é solução.
    Isto é direto, rápido e evita erro.

Resposta

Sim: y(t)=C e^{2t} é solução da equação diferencial y'=2y para qualquer constante C.

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