Verifique se a função
é solução da equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é solução da equação diferencial
Informações dadas:
- A função candidata é
, onde é uma constante (sem especificar, presume-se ). - A equação a verificar é
.
O objetivo aqui é calculare comparar com para ver se são iguais.
Passo 2
Relembrando regras de diferenciação que vamos usar (explicadas devagarinho):
- Regra do fator constante: se
é constante e é função, então . Aqui é um fator constante. - Regra da cadeia para exponenciais: se
é função de , então . No nosso caso , cuja derivada é . - Juntando as duas: a derivada de
será vezes a derivada de , e essa última é .
Passo 3
Vamos calcular a derivada passo a passo.
Começando de
Começando de
aplicando a regra do fator constante:
Agora aplicando a regra da cadeia à exponencial
(pois a derivada de
é
):
Substituindo na expressão de
:
Passo 4
Calcular
para comparar:
Observa-se que
Portanto a igualdade exigida pela equação diferencial é satisfeita.
Passo 5
Conclusão do teste: a função
satisfaz
para qualquer constante
. Isso inclui
, caso em que a solução é a solução trivial
.
Passo 6
Comentário adicional (útil para a prova): a equação
é separável. Resolvend a separável para ver que não estamos só verificando um caso particular, mas obtendo a família geral:
Integrando ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando:
com
uma constante arbitrária. Isso confirma que
é a solução geral da equação.
Passo 7
Dica rápida para a prova: ao verificar se uma função é solução de uma EDO ordinária, proceda sempre assim, em ordem:
- Diferencie a função candidata.
- Calcule o lado direito da EDO usando a função candidata.
- Compare os dois lados; se forem identicamente iguais (para todos
no domínio), é solução.
Isto é direto, rápido e evita erro.
Resposta
Sim:
é solução da equação diferencial
para qualquer constante
.