6- De uma população normal, retiramos uma amostra de 36 elementos:
40,1 45,0 39,1 43,9 45,8 44,2 37,4 44,7
45,2 41,2 40,7 43,1 44,1 42,6 40,6 41,8
42,9 45,8 43,4 45,5 44,8 42,3 40,4 41,9
42,1 44,4 43,7 43,9 42,6 45,5 41,5 45,2
43,6 42,8 43,3 45,7
a) Determinar um intervalo de confiança (IC) para a média com 95 \% de confiabilidade b) Ao nível de 5 \%, testar:
H_{0}: \mu=42 \quad \text { contra } \quad H_{1}: \mu>42
(R. a) ( 40, 326 ; 45,734 ); b) não rejeita-se H_{0} )

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar um intervalo de confiança para a média com 95\% de confiabilidade.
  • (b) Testar, ao nível de significância 5\%, as hipóteses
H_{0}: \mu=42 \quad\text{contra}\quad H_{1}: \mu>42.
Informações fornecidas (relevantíssimas):
  • Foi retirada uma amostra de tamanho n=36.
  • Os dados da amostra (peguei-os da tabela que você enviou) são, em ordem:
40,1,\;45,0,\;39,1,\;43,9,\;45,8,\;44,2,\;37,4,\;44,7,
45,2,\;41,2,\;40,7,\;43,1,\;44,1,\;42,6,\;40,6,\;41,8,
42,9,\;45,8,\;43,4,\;45,5,\;44,8,\;42,3,\;40,4,\;41,9,
42,1,\;44,4,\;43,7,\;43,9,\;42,6,\;45,5,\;41,5,\;45,2,
43,6,\;42,8,\;43,3,\;45,7.
  • O problema afirma que a população é normal. Não foi fornecida a variância populacional, logo tratamos \sigma como desconhecida.
(Pronto — agora que sabemos o que pedem e quais são os dados, vamos calcular passo a passo.)

Passo 2

Cálculo da média amostral \bar{x}.
Definição: \bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i. Aqui \sum x_i é a soma de todos os valores da amostra e n é o número de observações.
Calculei a soma dos dados (peguei os valores da tabela): \sum x_i = 1550,8.
Logo
\bar{x} = \frac{1550,8}{36} = 43,077\overline{7}\approx 43,078.
Interpretação curta: \bar{x} é a estimativa pontual da média populacional \mu.

Passo 3

Cálculo da variância amostral s^{2} e do desvio padrão amostral s.
Fórmula prática que usamos (equivalente a somar (x_i-\bar{x})^2 um a um):
s^{2}=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}-\frac{(\sum_{i=1}^{n} x_i)^{2}}{n}\right).
Aqui \sum x_i^{2} é a soma dos quadrados de cada observação.
Calculei (usando os valores da tabela) que
\sum_{i=1}^{n} x_i^{2} = 66\,949,02.
E já tínhamos \sum x_i = 1550,8 e n=36. Então
\sum x_i^{2}-\frac{(\sum x_i)^{2}}{n} =66\,949,02-\frac{(1550,8)^{2}}{36} =66\,949,02-66\,805,017777\ldots =144,002222\ldots
Agora
s^{2}=\frac{144,002222\ldots}{n-1}=\frac{144,002222\ldots}{35}\approx 4,1143492.
E o desvio padrão amostral é
s=\sqrt{s^{2}}\approx \sqrt{4,1143492}\approx 2,0284.
Explicação pedagógica curta: s mede o espalhamento dos dados ao redor da média amostral; como \sigma (variância populacional) é desconhecida, usamos s nas fórmulas seguintes.

Passo 4

Construção do intervalo de confiança de 95\% para \mu.
Razão do método: a população é normal e \sigma é desconhecida → usa-se distribuição t com n-1 graus de liberdade. A fórmula do IC é
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde \alpha=0,05 para 95\% de confiança, e t_{1-\alpha/2,n-1} é o quantil da t-Student.
Aqui n-1=35. O quantil para 95\% bilateral é
t_{0,975,\;35}\approx 2,030.
Cálculo do erro padrão:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{2,0284}{\sqrt{36}}=\frac{2,0284}{6}=0,33807\ldots
Margem de erro:
\text{ME}=t_{0,975,35}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2,030\cdot 0,33807\approx 0,6863.
Portanto o IC de 95\% é
\bar{x}\pm \text{ME}\approx 43,078\pm 0,6863,
ou seja
\text{IC}_{95\%}\approx (42,3917;\;43,7643).
Arredondando a três casas decimais:
\text{IC}_{95\%}\approx (42,392;\;43,764).
Interpretação: temos 95\% de confiança de que o verdadeiro \mu está entre 42,392 e 43,764.

Passo 5

Teste de hipóteses (direcional à direita) ao nível \alpha=0,05.
Passos do teste:
  • Estatística de teste (quando \sigma desconhecida):
t=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}},
onde \mu_{0}=42 do H_{0}.
Substituindo os valores:
t=\frac{43,0778-42}{2,0284/6}=\frac{1,0778}{0,33807}\approx 3,188.
  • Regra de decisão: para teste unilateral à direita com n-1=35 graus de liberdade, o valor crítico é
t_{0,95,\;35}\approx 1,690.
Rejeitamos H_{0} se t>t_{0,95,35}.
Comparação: t\approx 3,188>1,690. Logo rejeitamos H_{0} ao nível \alpha=0,05.
Cálculo do p-valor (para interpretação): o p-valor unilaterial é p=P(T_{35}>3,188), que numericamente dá aproximadamente
p\approx 0,0017,
muito menor que 0,05. Isso confirma a decisão de rejeitar H_{0}.
Observação relacional com o IC: note que 42 não pertence ao intervalo de confiança de 95\% (o limite inferior do IC é 42,392), então é coerente que, num teste unilateral a 5\%, rejeitemos H_{0}:\mu=42 em favor de \mu>42.

Passo 6

Resumo didático-final (como você deve fazer na prova):
  • Calcule \bar{x} e s da amostra.
  • Como a população é normal e \sigma é desconhecida, use a distribuição t com n-1 graus de liberdade.
  • Para IC de 100(1-\alpha)\%: \bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,n-1}\,s/\sqrt{n}.
  • Para teste unilateral H_{0}:\mu=\mu_{0} vs H_{1}:\mu>\mu_{0}: calcule t=(\bar{x}-\mu_{0})/(s/\sqrt{n}) e compare com t_{1-\alpha,n-1}; ou calcule o p-valor unilaterial e compare com \alpha.
  • Interprete resultados: se \mu_{0} está fora do IC bilateral de 100(1-\alpha)\%, geralmente há evidência contra H_{0} ao nível \alpha (coerência entre testes e IC).
Força aí — você já tem tudo que precisa para justificar passo a passo na prova!

Resposta

(a) (42,392;\;43,764)
(b) Rejeita-se H_{0} ao nível de 5\% (estatística t\approx 3,188, p\approx 0,0017).

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