6- De uma população normal, retiramos uma amostra de 36 elementos:
40,1
45,0
39,1
43,9
45,8
44,2
37,4
44,7
45,2
41,2
40,7
43,1
44,1
42,6
40,6
41,8
42,9
45,8
43,4
45,5
44,8
42,3
40,4
41,9
42,1
44,4
43,7
43,9
42,6
45,5
41,5
45,2
43,6
42,8
43,3
45,7
a) Determinar um intervalo de confiança (IC) para a média com
de confiabilidade b) Ao nível de
, testar:
(R. a) ( 40,
); b) não rejeita-se
)
| 40,1 | 45,0 | 39,1 | 43,9 | 45,8 | 44,2 | 37,4 | 44,7 |
| 45,2 | 41,2 | 40,7 | 43,1 | 44,1 | 42,6 | 40,6 | 41,8 |
| 42,9 | 45,8 | 43,4 | 45,5 | 44,8 | 42,3 | 40,4 | 41,9 |
| 42,1 | 44,4 | 43,7 | 43,9 | 42,6 | 45,5 | 41,5 | 45,2 |
| 43,6 | 42,8 | 43,3 | 45,7 |
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar um intervalo de confiança para a média com
de confiabilidade. - (b) Testar, ao nível de significância
, as hipóteses
Informações fornecidas (relevantíssimas):
- Foi retirada uma amostra de tamanho
. - Os dados da amostra (peguei-os da tabela que você enviou) são, em ordem:
- O problema afirma que a população é normal. Não foi fornecida a variância populacional, logo tratamos
como desconhecida.
(Pronto — agora que sabemos o que pedem e quais são os dados, vamos calcular passo a passo.)
Passo 2
Cálculo da média amostral
.
Definição:
. Aqui
é a soma de todos os valores da amostra e
é o número de observações.
Calculei a soma dos dados (peguei os valores da tabela):
.
Logo
Interpretação curta:
é a estimativa pontual da média populacional
.
Passo 3
Cálculo da variância amostral
e do desvio padrão amostral
.
Fórmula prática que usamos (equivalente a somar
um a um):
Aqui
é a soma dos quadrados de cada observação.
Calculei (usando os valores da tabela) que
E já tínhamos
e
. Então
Agora
E o desvio padrão amostral é
Explicação pedagógica curta:
mede o espalhamento dos dados ao redor da média amostral; como
(variância populacional) é desconhecida, usamos
nas fórmulas seguintes.
Passo 4
Construção do intervalo de confiança de
para
.
Razão do método: a população é normal e
é desconhecida → usa-se distribuição
com
graus de liberdade. A fórmula do IC é
onde
para
de confiança, e
é o quantil da
-Student.
Aqui
. O quantil para
bilateral é
Cálculo do erro padrão:
Margem de erro:
Portanto o IC de
é
ou seja
Arredondando a três casas decimais:
Interpretação: temos
de confiança de que o verdadeiro
está entre
e
.
Passo 5
Teste de hipóteses (direcional à direita) ao nível
.
Passos do teste:
- Estatística de teste (quando
desconhecida):
onde
do
.
Substituindo os valores:
- Regra de decisão: para teste unilateral à direita com
graus de liberdade, o valor crítico é
Rejeitamos
se
.
Comparação:
. Logo rejeitamos
ao nível
.
Cálculo do p-valor (para interpretação): o p-valor unilaterial é
, que numericamente dá aproximadamente
muito menor que
. Isso confirma a decisão de rejeitar
.
Observação relacional com o IC: note que
não pertence ao intervalo de confiança de
(o limite inferior do IC é
), então é coerente que, num teste unilateral a
, rejeitemos
em favor de
.
Passo 6
Resumo didático-final (como você deve fazer na prova):
- Calcule
e da amostra. - Como a população é normal e
é desconhecida, use a distribuição com graus de liberdade. - Para IC de
: . - Para teste unilateral
vs : calcule e compare com ; ou calcule o p-valor unilaterial e compare com . - Interprete resultados: se
está fora do IC bilateral de , geralmente há evidência contra ao nível (coerência entre testes e IC).
Força aí — você já tem tudo que precisa para justificar passo a passo na prova!
Resposta
(a)
(b) Rejeita-se ao nível de
(estatística
,
).
(b) Rejeita-se