Uma porção de lava é ejetada de baixo para cima por um vulcão com velocidade inicial de 50,0 m / s. Despreze a resistência do ar.
a) Qual o tempo que a porção leva, após o lançamento, para que sua velocidade seja de 30,0 m / s de cima para baixo? b) Quando o deslocamento da pedrá é igual a zero? c) Quando a velocidade da pedra é igual a zero? d) Faça gráficos y times t, vy times t e ay times t do movimento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o movimento de uma porção de lava ejetada de um vulcão. O enunciado diz que a lava sai para cima com uma velocidade inicial de 50,0 m/s e que a resistência do ar pode ser ignorada. Vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado, levando em conta a aceleração da gravidade ( g = 9,8 m/s^2) que atua para baixo.

Passo 2

Parte a) Queremos saber quanto tempo a lava leva para ter uma velocidade de 30,0 m/s para baixo. Primeiro, vamos entender que a velocidade final ( v) será negativa porque está para baixo, então v = -30,0 m/s. Usamos a equação da velocidade no movimento uniformemente acelerado:
v = v0 + a cdot t
onde:
  • v0 = 50,0 m/s (velocidade inicial para cima),
  • a = -g = -9,8 m/s^2 (aceleração da gravidade),
  • t é o tempo que queremos encontrar.
Substituindo os valores:
-30,0 = 50,0 + (-9,8) cdot t
Agora, vamos resolver para t:
-30,0 - 50,0 = -9,8 cdot t -80,0 = -9,8 cdot t t = -80,0-9,8 t approx 8,16 s

Passo 3

Parte b) Queremos saber quando o deslocamento ( y) da lava é igual a zero novamente, ou seja, quando ela volta ao ponto de lançamento. Para isso, usamos a equação do deslocamento:
y = v0 cdot t + 12 cdot a cdot t^2
Como queremos y = 0:
0 = 50,0 cdot t - 12 cdot 9,8 cdot t^2 0 = t (50,0 - 4,9 cdot t)
Isso nos dá duas soluções: t = 0 (o momento do lançamento) e:
50,0 - 4,9 cdot t = 0 4,9 cdot t = 50,0 t = 50,04,9 t approx 10,20 s

Passo 4

Parte c) Agora, queremos saber quando a velocidade da lava é igual a zero, ou seja, o ponto mais alto que ela alcança. Usamos novamente a equação da velocidade:
v = v0 + a cdot t
Queremos v = 0:
0 = 50,0 - 9,8 cdot t 9,8 cdot t = 50,0 t = 50,09,8 t approx 5,10 s

Passo 5

Parte d) Vamos fazer os gráficos do deslocamento ( y) em função do tempo ( t), da velocidade ( vy) em função do tempo ( t) e da aceleração ( ay) em função do tempo ( t).
  1. Gráfico y times t:
    • A equação é y = 50,0 cdot t - 4,9 cdot t^2.
    • É uma parábola que começa no ponto (0,0), alcança um ponto máximo e volta para y = 0 no tempo t approx 10,20 s.
  2. Gráfico vy times t:
    • A equação é vy = 50,0 - 9,8 cdot t.
    • É uma reta com inclinação -9,8 m/s^2, começando em vy = 50,0 m/s e passando por vy = 0 em t approx 5,10 s.
  3. Gráfico ay times t:
    • A aceleração é constante: ay = -9,8 m/s^2.
    • É uma linha horizontal no valor -9,8 m/s^2 para todo o tempo.

Resposta

a) O tempo é aproximadamente 8,16 s.
b) O deslocamento é igual a zero em 10,20 s.
c) A velocidade da lava é igual a zero em 5,10 s.
d) Os gráficos seguem as equações descritas acima, mostrando o deslocamento em forma de parábola, a velocidade como uma reta decrescente e a aceleração constante negativa.

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