Portanto, suponha a função horária da velocidade:
V(t) = 5t-2
a)    Determine a expressão da função horária das posições.
b)    Encontre a aceleração instantânea.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que descreve a velocidade em função do tempo: $ V(t) = 5t - 2 $. O conteúdo que vamos usar aqui é de cinemática, especificamente movimento uniforme variado. Para resolver as duas partes da questão, vamos precisar entender como calcular a posição a partir da velocidade e como encontrar a aceleração a partir da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte a): Determinar a expressão da função horária das posições.
Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Portanto, para encontrar a posição, precisamos integrar a função da velocidade.
A integral de $ V(t) = 5t - 2 $ em relação ao tempo é:
V(t) = 5t - 2
Vamos calcular essa integral:
S(t) = integral V(t) , dt = integral (5t - 2) , dt
Onde $ C $ é a constante de integração, que representa a posição inicial. Se não for dado um valor inicial, podemos deixar a constante assim.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): Encontrar a aceleração instantânea.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função da velocidade $ V(t) = 5t - 2 $:
V(t) = 5t - 2
Calculando a derivada:
a(t) = dVdt = ddt(5t - 2)
Isso significa que a aceleração é constante e igual a 5 unidades de aceleração por unidade de tempo.

Resposta

a) A função horária da posição é $ S(t) = \frac{5}{2}t^2 - 2t + C $.
b) A aceleração instantânea é $ a(t) = 5 $.

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