Se a posição do anel C de 3 kg na barra lisa A B é mantida em r=720 mm, determine a velocidade angular constante dottheta na qual o mecanismo está girando em torno do eixo vertical. A mola tem um comprimento não deformado de 400 mm . Despreze a massa da barra e a dimensão do anel.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um anel de 3 kg preso em uma barra que gira em torno de um eixo vertical. A posição do anel está mantida a 720 mm da rotação, e a mola que o segura tem um comprimento natural de 400 mm. A gente precisa encontrar a velocidade angular constante dottheta com que o mecanismo está girando. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força centrípeta e força da mola, aplicando um pouco de física básica e equações de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando a barra gira, o anel sente uma força para fora devido à rotação, que é a força centrífuga. Essa força precisa ser equilibrada pela força que a mola está exercendo para manter o anel na posição fixa.

Passo 3

Vamos converter todas as unidades para o sistema internacional (SI). O raio $ r $ é 720 mm, o que dá 0,72 m, e o comprimento não deformado da mola é 400 mm, ou seja, 0,4 m.

Passo 4

A força centrífuga $ F_c $ que atua no anel é dada por:
Fc
onde:
  • $ m = 3 , kg $ (massa do anel)
  • $ r = 0,72 , m $ (raio)
  • $ \dot{\theta} $ é a velocidade angular que queremos encontrar.

Passo 5

A mola está esticada porque o anel está mais longe do ponto de fixação devido à rotação. O alongamento da mola $ \Delta L $ é dado por:
De
onde $ L_0 = 0,4 , m $ é o comprimento não deformado da mola.

Passo 6

A força exercida pela mola $ F_m $ pode ser descrita pela Lei de Hooke:
Fm
onde $ k $ é a constante elástica da mola. No entanto, no enunciado não foi dada a constante da mola. Para prosseguir, vamos assumir que a mola está equilibrando exatamente a força centrífuga:
Fm = k cdot De
Então:
k

Passo 7

Se rearranjarmos a equação para encontrar $ \dot{\theta} $:
dottheta
Como não temos o valor de $ k $, parece que há uma informação faltando no enunciado. Talvez o enunciado queira que a velocidade angular seja calculada sem precisar da constante da mola, o que pode ser feito considerando o equilíbrio de forças na posição estável.

Passo 8

Vamos supor que a força da mola proporciona a força centrípeta necessária. Então, usando:
k cdot De
Se não temos $ k $, podemos expressar $ \dot{\theta} $ em função de $ k $:
k
dottheta
k

Resposta

A velocidade angular constante do mecanismo é dada por:
dottheta = raizk6,75
Sem o valor da constante da mola $ k $, a expressão final para k é dottheta rad/s.

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