Se a posição do anel
de 3 kg na barra lisa
é mantida em
, determine a velocidade angular constante
na qual o mecanismo está girando em torno do eixo vertical. A mola tem um comprimento não deformado de 400 mm . Despreze a massa da barra e a dimensão do anel.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um anel de 3 kg preso em uma barra que gira em torno de um eixo vertical. A posição do anel está mantida a 720 mm da rotação, e a mola que o segura tem um comprimento natural de 400 mm. A gente precisa encontrar a velocidade angular constante
com que o mecanismo está girando. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força centrípeta e força da mola, aplicando um pouco de física básica e equações de equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando a barra gira, o anel sente uma força para fora devido à rotação, que é a força centrífuga. Essa força precisa ser equilibrada pela força que a mola está exercendo para manter o anel na posição fixa.
Passo 3
Vamos converter todas as unidades para o sistema internacional (SI). O raio $ r $ é 720 mm, o que dá 0,72 m, e o comprimento não deformado da mola é 400 mm, ou seja, 0,4 m.
Passo 4
A força centrífuga $ F_c $ que atua no anel é dada por:
onde:
- $ m = 3 , kg $ (massa do anel)
- $ r = 0,72 , m $ (raio)
- $ \dot{\theta} $ é a velocidade angular que queremos encontrar.
Passo 5
A mola está esticada porque o anel está mais longe do ponto de fixação devido à rotação. O alongamento da mola $ \Delta L $ é dado por:
onde $ L_0 = 0,4 , m $ é o comprimento não deformado da mola.
Passo 6
A força exercida pela mola $ F_m $ pode ser descrita pela Lei de Hooke:
onde $ k $ é a constante elástica da mola. No entanto, no enunciado não foi dada a constante da mola. Para prosseguir, vamos assumir que a mola está equilibrando exatamente a força centrífuga:
Então:
Passo 7
Se rearranjarmos a equação para encontrar $ \dot{\theta} $:
Como não temos o valor de $ k $, parece que há uma informação faltando no enunciado. Talvez o enunciado queira que a velocidade angular seja calculada sem precisar da constante da mola, o que pode ser feito considerando o equilíbrio de forças na posição estável.
Passo 8
Vamos supor que a força da mola proporciona a força centrípeta necessária. Então, usando:
Se não temos $ k $, podemos expressar $ \dot{\theta} $ em função de $ k $:
Resposta
A velocidade angular constante do mecanismo é dada por:
Sem o valor da constante da mola $ k $, a expressão final para
é
rad/s.