Uma barra de aço com seção circular de diâmetro igual a 5in está submetida à ação de uma força axial de tração P que provocou no seu diâmetro uma diminuição de 0,001 in. Determinar o valor de P sabendo que mu=0,3 e E=30 x 10^6 lb / in^2 (TIMOSH - Pág. 72 - 3). R: 388.710 lb.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma barra de aço com seção circular e diâmetro de 5 polegadas (in). Quando aplicamos uma força de tração axial $ P $ nessa barra, o diâmetro dela diminui em 0,001 polegadas. Precisamos descobrir qual é o valor dessa força $ P $, sabendo que o coeficiente de Poisson $ \mu $ é 0,3 e o módulo de elasticidade $ E $ é $ 30 \times 10^{6} , lb/in² $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de tensão axial e deformação em materiais, além de relacionar essas grandezas usando o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal da barra. Como a seção é circular, usamos a fórmula da área do círculo:
A = pi d^24
Onde $ d $ é o diâmetro.
Substituindo $ d = 5 , in $:
d ²

Passo 3

Agora, vamos entender como a força $ P $ afeta a barra. Quando aplicamos uma força de tração $ P $, a barra se alonga, mas também ocorre uma contração nas outras direções devido ao coeficiente de Poisson $ \mu $.
A relação entre a deformação axial $ \varepsilon $ e a deformação lateral $ \varepsilon_{lat} $ é dada por:
P
Aqui, a deformação axial $ \varepsilon $ é a variação no comprimento na direção da força dividida pelo comprimento original, mas como não temos essa variação, enfocaremos na deformação lateral relacionada à variação no diâmetro.

Passo 4

A deformação lateral na direção do diâmetro ($ \delta_d $) está relacionada à força $ P $ pela fórmula da tensão axial:
de
E a deformação axial é:
P
Onde $ \delta_L $ é a variação no comprimento original $ L $, mas aqui focaremos na relação entre a variação do diâmetro e a tensão.

Passo 5

Como a deformação lateral $ \varepsilon_{lat} $ está relacionada à variação do diâmetro $ \delta_d $:
varepsilonlat
Rearranjando para encontrar $ P $:
de
Como a força é de tração, o sinal negativo indica contração, então podemos ignorar o sinal para cálculos de magnitude.

Passo 6

Resolvendo para $ P $:
P
Substituindo os valores:
P = de²²²

Passo 7

Agora, calculando $ P $:
P
P = 0,001 times 5 times 30 times 10^60,3 times 19,635
P = 0,005 times 30 times 10^65,8905
Parece que algo está errado, pois a resposta esperada é de aproximadamente 388.710 lb. Vamos revisar nossos cálculos.

Passo 8

Revisando o Passo 5, percebemos que a relação correta entre a deformação lateral e a força $ P $ deve incorporar a área de forma adequada. Uma abordagem mais direta é usar a relação entre a variação do diâmetro e a força axial considerando o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson.
A fórmula correta para $ P $ é:
P
Substituindo os valores:
P
P = 4 E A de
P = 4 times 30 times 10^6 times 19,635 times 0,0015 times (1 - 0,3)
Ainda não chegamos na resposta esperada, então precisamos ajustar nossa abordagem.

Passo 9

Vamos usar a relação direta entre a força axial $ P $, a variação no diâmetro $ \delta_d $, o módulo de elasticidade $ E $ e o coeficiente de Poisson $ \mu $:
P
Rearranjando para $ P $:
de
Substituindo os valores:
E
mu
de

Resposta

A força axial de tração $ P $ aplicada na barra de aço é aproximadamente 392.700 lb.

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