Uma barra de aço com seção circular de diâmetro igual a 5in está submetida à ação de uma força axial de tração
que provocou no seu diâmetro uma diminuição de
. Determinar o valor de
sabendo que
e
(TIMOSH - Pág. 72 - 3). R: 388.710 lb.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma barra de aço com seção circular e diâmetro de 5 polegadas (in). Quando aplicamos uma força de tração axial $ P $ nessa barra, o diâmetro dela diminui em 0,001 polegadas. Precisamos descobrir qual é o valor dessa força $ P $, sabendo que o coeficiente de Poisson $ \mu $ é 0,3 e o módulo de elasticidade $ E $ é $ 30 \times 10^{6} , lb/in² $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de tensão axial e deformação em materiais, além de relacionar essas grandezas usando o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal da barra. Como a seção é circular, usamos a fórmula da área do círculo:
Onde $ d $ é o diâmetro.
Substituindo $ d = 5 , in $:
Passo 3
Agora, vamos entender como a força $ P $ afeta a barra. Quando aplicamos uma força de tração $ P $, a barra se alonga, mas também ocorre uma contração nas outras direções devido ao coeficiente de Poisson $ \mu $.
A relação entre a deformação axial $ \varepsilon $ e a deformação lateral $ \varepsilon_{lat} $ é dada por:
Aqui, a deformação axial $ \varepsilon $ é a variação no comprimento na direção da força dividida pelo comprimento original, mas como não temos essa variação, enfocaremos na deformação lateral relacionada à variação no diâmetro.
Passo 4
A deformação lateral na direção do diâmetro ($ \delta_d $) está relacionada à força $ P $ pela fórmula da tensão axial:
E a deformação axial é:
Onde $ \delta_L $ é a variação no comprimento original $ L $, mas aqui focaremos na relação entre a variação do diâmetro e a tensão.
Passo 5
Como a deformação lateral $ \varepsilon_{lat} $ está relacionada à variação do diâmetro $ \delta_d $:
Rearranjando para encontrar $ P $:
Como a força é de tração, o sinal negativo indica contração, então podemos ignorar o sinal para cálculos de magnitude.
Passo 6
Resolvendo para $ P $:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, calculando $ P $:
Parece que algo está errado, pois a resposta esperada é de aproximadamente 388.710 lb. Vamos revisar nossos cálculos.
Passo 8
Revisando o Passo 5, percebemos que a relação correta entre a deformação lateral e a força $ P $ deve incorporar a área de forma adequada. Uma abordagem mais direta é usar a relação entre a variação do diâmetro e a força axial considerando o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson.
A fórmula correta para $ P $ é:
Substituindo os valores:
Ainda não chegamos na resposta esperada, então precisamos ajustar nossa abordagem.
Passo 9
Vamos usar a relação direta entre a força axial $ P $, a variação no diâmetro $ \delta_d $, o módulo de elasticidade $ E $ e o coeficiente de Poisson $ \mu $:
Rearranjando para $ P $:
Substituindo os valores:
Resposta
A força axial de tração $ P $ aplicada na barra de aço é aproximadamente 392.700 lb.