A posição angular de uma partícula que se move ao longo de uma circunferência com raio de 5 pés é dada pela expressão theta=3 t^2, onde theta é dado em radianos e t em segundos. Calcular as acelerações tangencial, normal e total da partícula no instante t=0,5 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar as acelerações tangencial, normal e total de uma partícula que se move em uma circunferência de raio 5 pés. A posição angular dela é dada por theta = 3 t^2, onde theta está em radianos e t em segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento circular, como derivadas para encontrar velocidades e acelerações angulares, além das fórmulas para aceleração tangencial e centrípeta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular omega. Sabemos que omega é a derivada da posição angular theta em relação ao tempo t:
omega = dthetadt
Dado que theta = 3 t^2, derivamos em relação a t:
omega = ddt(3 t^2) = 6 t

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração angular alpha, que é a derivada da velocidade angular omega em relação ao tempo:
alpha = domegadt
Derivando omega = 6 t:
alpha = ddt(6 t) = 6 , rad/s^2

Passo 4

Com a aceleração angular alpha encontrada, podemos calcular a aceleração tangencial at. A aceleração tangencial está relacionada à aceleração angular pela fórmula:
at = r alpha
Onde r é o raio da circunferência, que é 5 pés:
at = 5 times 6 = 30 , ft/s^2

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a velocidade tangencial v da partícula, que está relacionada à velocidade angular omega pela fórmula:
v = r omega
Usando omega = 6 t e r = 5 pés:
v = 5 times 6 t = 30 t , ft/s

Passo 6

Agora, vamos determinar a aceleração normal an, também conhecida como aceleração centrípeta. Ela é dada por:
an = v^2r
Substituindo v = 30 t e r = 5 pés:
an = (30 t)^25 = 900 t^25 = 180 t^2 , ft/s^2

Passo 7

Finalmente, para encontrar a aceleração total a da partícula, usamos o teorema de Pitágoras, já que as acelerações tangencial e normal são perpendiculares:
a = raizat^2 + an^2
Substituindo at = 30 ft/s² e an = 180 t^2:
a = raiz30^2 + (180 t^2)^2 = raiz900 + 32400 t^4

Resposta

No instante t = 0,5 , s:
  • Aceleração tangencial: at = 30 , ft/s^2
  • Aceleração normal: an = 180 times (0,5)^2 = 45 , ft/s^2
  • Aceleração total: a = raiz30^2 + 45^2 = raiz900 + 2025 = raiz2925 approx 54,08 , ft/s^2

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