A posição da barra AB é controlada pelo disco C vinculada à barra CD. Sabendo que CD se move verticalmente para cima com velocidade constante de 50 \mathrm{~mm} / \mathrm{s}.
Determine a velocidade e aceleração angular da barra AB em função de \theta. Sabendo que r =100 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a velocidade angular \dot{\theta} e a aceleração angular \ddot{\theta} da barra AB em função de \theta. Os dados fornecidos pelo enunciado/figura que eu identifiquei são (vou listar tudo que aparece e o que está confuso):
  • Foi informado que a peça CD (ou o ponto C ligado a CD) se move verticalmente para cima com velocidade constante 50\\ \mathrm{mm/s}. Vou chamar essa velocidade de v_C, portanto \;v_C=50\\ \mathrm{mm/s} (positivo para cima).
  • Foi dado r=100\\ \mathrm{mm} (o enunciado citou esse r — não está claro na frase se esse é o comprimento do elo BC, o raio de um disco, ou outra coisa).
  • A figura anexada mostra um mecanismo com pivô em A, barra AB de comprimento aparente L_1=0{,}5\\ \mathrm{m} e um segundo elo BC de comprimento aparente L_2=1{,}0\\ \mathrm{m}; nela o ponto C parece deslizar sobre uma guia horizontal (ou seja, na figura C desliza horizontalmente). Também aparecem ângulos ilustrativos 45^\circ e 60^\circ na figura. Eu usei essas medidas da imagem quando as descrevi.
  • Contradição importante: o texto diz que CD se move verticalmente, mas a imagem mostra o bloco C deslizando horizontalmente. Além disso não está claro se o r=100\\ \mathrm{mm} é o comprimento de um elo, o raio de um disco que gera movimento em C, ou outra coisa.
Conclusão deste passo: há informação contraditória/insuficiente entre enunciado e figura. Para resolver numericamente preciso saber claramente:
  • qual é o caminho de C (vertical ou horizontal);
  • a que se refere exatamente r=100\\ \mathrm{mm} (comprimento BC? raio do disco que faz C mover-se?);
  • as geometrias/valores fixos (por exemplo posições fixas, coordenada x_C se C desliza verticalmente, ou y_C se desliza horizontalmente, e os comprimentos efetivos L_1,L_2).

Passo 2

Mesmo com a ambiguidade, vou ensinar o método geral que se usa para esse tipo de problema (mecanismo articulado com um deslizador). Esse método vale tanto se C desliza verticalmente como se desliza horizontalmente — a diferença é só a equação de restrição do deslizador. A ideia é:
  • escrever o laço vetorial (fechado) entre os elos;
  • separar componentes escalarmente (equações em x e y);
  • diferenciar uma vez para obter relações de velocidades (daí isolamos \dot{\theta});
  • diferenciar novamente para obter relações de acelerações (daí isolamos \ddot{\theta}).
    Vou detalhar cada passo com as equações que você vai aplicar na prova.
Definições e notação que vou usar:
  • L_1 = comprimento de AB (do pivô A ao ponto B);
  • L_2 = comprimento de BC (de B a C);
  • \theta = ângulo de AB medido de alguma referência (use a mesma referência do enunciado);
  • \varphi = ângulo de BC;
  • \mathbf{r}_B = posição do ponto B relativa a A;
  • \mathbf{r}_C = posição do ponto C (conhecida via restrição do deslizador);
  • v_C=\dot{y}_C ou \dot{x}_C dependendo se C desliza vertical ou horizontal;
  • ponto fixo A em (0,0).

Passo 3

Montagem do laço geométrico (posição). Escrevemos o laço vetorial do elo A\to B\to C:
\mathbf{r}_A + \mathbf{r}_{AB} + \mathbf{r}_{BC} = \mathbf{r}_C.
Como A é a origem, \mathbf{r}_A=(0,0). Então
\mathbf{r}_B = \mathbf{r}_{AB} = L_1(\cos\theta,\; \sin\theta),
\mathbf{r}_C = \mathbf{r}_B + L_2(\cos\varphi,\; \sin\varphi).
Separando em componentes:
x_C = L_1\cos\theta + L_2\cos\varphi, \tag{1}
y_C = L_1\sin\theta + L_2\sin\varphi. \tag{2}
Estas duas equações ligam \theta e \varphi com a posição do deslizador C.
Observação: se C desliza sobre uma reta horizontal com coordenada vertical fixa y_C=y_{\text{guia}}, então (2) é uma equação algébrica que relaciona \theta e \varphi. Se C desliza verticalmente com coordenada horizontal fixa x_C=x_{\text{guia}}, então (1) é a equação de restrição. Em ambos os casos usamos (1) e (2) conforme o deslizador.

Passo 4

Velocidades: diferenciando (1) e (2) em relação ao tempo obtemos (componentes \dot{x}_C,\dot{y}_C conhecidos pelo problema):
diferenciando (1):
\dot{x}_C = -L_1\dot{\theta}\sin\theta - L_2\dot{\varphi}\sin\varphi. \tag{3}
diferenciando (2):
\dot{y}_C = L_1\dot{\theta}\cos\theta + L_2\dot{\varphi}\cos\varphi. \tag{4}
Agora isolamos \dot{\theta}. Existem duas maneiras: resolver o sistema linear (3)-(4) para \dot{\theta} e \dot{\varphi} ou eliminar \dot{\varphi}. Um jeito muito prático (e elegante) é eliminar \dot{\varphi} usando combinação trigonométrica. Multiplicando (3) por \cos\varphi e (4) por \sin\varphi e somando, vemos que alguns termos se combinam. Mas a forma final compacta útil é:
a) eliminação direta (mostro a forma útil): a partir de (3) e (4) obtemos
L_1\dot{\theta}\sin\theta = -L_2\dot{\varphi}\sin\varphi - \dot{x}_C,
L_1\dot{\theta}\cos\theta = \dot{y}_C - L_2\dot{\varphi}\cos\varphi.
Uma combinação que elimina \dot{\varphi} é formar
\sin\varphi\cdot(4) - \cos\varphi\cdot(3).
Fazendo isso, obtemos (após simplificar) a relação direta
\dot{y}_C\sin\varphi + \dot{x}_C\cos\varphi = L_1\dot{\theta}\sin(\varphi-\theta). \tag{5}
Portanto isolando \dot{\theta}:
\boxed{\displaystyle \dot{\theta} = \frac{\dot{y}_C\sin\varphi + \dot{x}_C\cos\varphi}{L_1\sin(\varphi-\theta)}.} \tag{6}
Esta é uma expressão geral válida para o caso em que C tenha componentes de velocidade \dot{x}_C,\dot{y}_C. Note que se C desliza estritamente verticalmente com velocidade v_C=\dot{y}_C e \dot{x}_C=0, a fórmula reduz para
\boxed{\displaystyle \dot{\theta} = \frac{v_C\sin\varphi}{L_1\sin(\varphi-\theta)}.} \tag{6a}
Se C desliza estritamente horizontalmente com \dot{y}_C=0 e \dot{x}_C=v_C, a fórmula reduz para
\boxed{\displaystyle \dot{\theta} = \frac{v_C\cos\varphi}{L_1\sin(\varphi-\theta)}.} \tag{6b}
Observação prática para prova: para usar (6) você precisa do ângulo \varphi correspondente à dada \theta. Use as equações de posição (1)-(2) para calcular \cos\varphi e \sin\varphi:
\cos\varphi = \frac{x_C - L_1\cos\theta}{L_2},\qquad \sin\varphi = \frac{y_C - L_1\sin\theta}{L_2}.
Estas expressões permitem substituir \sin\varphi,\cos\varphi em (6) e obter \dot{\theta} explicitamente em função de \theta (e dos parâmetros fixos x_C,y_C,L_1,L_2).

Passo 5

Acelerações: diferenciamos novamente (3) e (4). As equações de aceleração (componentes) são
\ddot{x}_C = -L_1(\ddot{\theta}\sin\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta) - L_2(\ddot{\varphi}\sin\varphi + \dot{\varphi}^2\cos\varphi), \tag{7}
\ddot{y}_C = L_1(\ddot{\theta}\cos\theta - \dot{\theta}^2\sin\theta) + L_2(\ddot{\varphi}\cos\varphi - \dot{\varphi}^2\sin\varphi). \tag{8}
Nos problemas práticos, muitas vezes \ddot{x}_C ou \ddot{y}_C é conhecido (p.ex. aqui disseram velocidade constante, então a aceleração do deslizador é zero na direção do movimento). Supondo o caso mencionado no enunciado literal — deslocamento vertical constante de 50\\ \mathrm{mm/s} — tem-se \ddot{y}_C=0 e \dot{x}_C=0,\ddot{x}_C=0.
Para eliminar \ddot{\varphi} e isolar \ddot{\theta} podemos proceder como fizemos para as velocidades: multiplicar convenientemente e somar/subtrair. Uma forma compacta da fórmula final (obtida resolvendo o sistema (7)-(8) para \ddot{\theta}) é:
\boxed{\displaystyle \ddot{\theta} = \frac{\ddot{y}_C\sin\varphi + \ddot{x}_C\cos\varphi + L_2\dot{\varphi}^2\sin(\varphi-\theta) + L_1\dot{\theta}^2\sin(\varphi-\theta)\\ }{L_1\sin(\varphi-\theta)} } \tag{9}
onde \dot{\varphi} pode ser obtido a partir de (3)-(4) (por exemplo de (3): \dot{\varphi} = \dfrac{-\dot{x}_C - L_1\dot{\theta}\sin\theta}{L_2\sin\varphi} ou usando a relação mais simétrica obtida antes). Note que (9) é uma forma simbólica que reúne os termos de aceleração relativa e centrífugos; simplificações acontecem se \ddot{x}_C ou \ddot{y}_C for zero.
Casos especiais úteis na prova:
  • Se v_C é constante e o deslizador é vertical: \dot{x}_C=0,\\ \ddot{x}_C=0,\\ \ddot{y}_C=0. Então (9) reduz para
\boxed{\displaystyle \ddot{\theta} = -\frac{L_2\dot{\varphi}^2\sin(\theta-\varphi) + L_1\dot{\theta}^2\sin(\theta-\varphi)}{L_1\sin(\varphi-\theta)} }
que, com cuidado nas mudanças de sinal (note \sin(\theta-\varphi)=-\sin(\varphi-\theta)), pode ser reescrita de forma numericamente estável. Para aplicar, substitua \dot{\varphi} em termos de \dot{\theta} (obtido das equações de velocidade) e você ficará com \ddot{\theta} em função de \theta e \dot{\theta} e parâmetros conhecidos; como em nosso caso \dot{\theta} já é função de \theta (ver passo 4) você poderá escrever \ddot{\theta} puramente em função de \theta.

Passo 6

Resumo prático com fórmula que você deve aplicar na prova (passo-a-passo operacional):
  1. Escreva (1) e (2) e calcule \sin\varphi e \cos\varphi para cada \theta usando os comprimentos e posição fixa do guia ( x_C ou y_C).
  2. Use a fórmula de velocidade (6) (escolha a forma (6a) ou (6b) conforme a direção do deslizador) para obter \dot{\theta}(\theta).
  3. Calcule \dot{\varphi} a partir das equações (3)-(4) (por exemplo isolando \dot{\varphi} em (3) ou (4)).
  4. Use (7)-(8) e a combinação indicada para obter \ddot{\theta}. Se a aceleração do deslizador é zero ( \ddot{x}_C=0 ou \ddot{y}_C=0), a expressão fica mais simples.
Dica prática para provas: mantenha sinais consistentes, calcule numericamente \sin\varphi,\cos\varphi a partir da posição geométrica, substitua em (6) para \dot{\theta}, depois compute \dot{\varphi} e finalmente substitua tudo em (9) para \ddot{\theta}. Faça as simplificações algébricas com calma.

Passo 7

Observação final sobre o seu caso específico (informações faltantes e por que eu não dei um número final):
  • O enunciado que você escreveu diz que CD se move verticalmente com 50\\ \mathrm{mm/s} e que r=100\\ \mathrm{mm}. Entretanto a figura mostra o bloco C deslizando horizontalmente e exibe comprimentos L_1=0{,}5\\ \mathrm{m} e L_2=1{,}0\\ \mathrm{m}. Essas três peças de informação (direção do deslizador, valor de r e comprimentos mostrados) não foram combinadas de forma única no seu enunciado, então não é possível fornecer uma expressão numérica única para \dot{\theta}(\theta) e \ddot{\theta}(\theta) sem que você confirme:
    • se o deslizador realmente se move verticalmente ou horizontalmente;
    • se r corresponde a L_2 (comprimento BC) ou é outra dimensão (raio de disco);
    • qual é a posição fixa do guia (por exemplo x_C se deslizador vertical, ou y_C se deslizador horizontal), ou se o deslizador está livre com coordenada que depende de \theta.
Se você confirmar qual é a configuração (vertical vs horizontal), e esclarecer a que corresponde r=100\\ \mathrm{mm} e quais comprimentos usar ( L_1,L_2), eu aplico imediatamente o procedimento acima e mostro as contas passo a passo com números e a expressão final de \dot{\theta}(\theta) e \ddot{\theta}(\theta). Eu prometo fazer sem pular etapas e de maneira bem mastigada para a sua prova — dá pra resolver direitinho, só falta essa definição que agora está ambígua.

Resposta

Não é possível dar os valores/expressiones numéricas finais porque o enunciado e a figura estão contraditórios/insuficientes (não ficou claro se o deslizador C desliza verticalmente ou horizontalmente, e não está explícito se r=100\\ \mathrm{mm} é o comprimento do elo ou outro parâmetro). Forneça qual é a direção do deslizamento de C e confirme a que se refere r (e os comprimentos L_1,L_2 se necessário) e eu faço as contas completas imediatamente.

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