Calcular, pela teoria da energia de distorção, a espessura da parede de uma caldeira cilindrica de diâmetro D=2 \mathrm{~m}, submetida a uma pressão interna de vapor, p=10 \mathrm{~atm} (ou 10 \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2} ). \bar{S}_{y t} =1000 \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a espessura da parede de uma caldeira cilíndrica usando a teoria da energia de distorção. Dados fornecidos:
D = 2\\ \mathrm{m} = 200\\ \mathrm{cm},
p = 10\\ \mathrm{atm} = 10\\ \mathrm{kgf/cm^{2}},
\bar{S}_{yt} = 1000\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
Pergunta explícita: encontrar a espessura t da parede (em cm) que satisfaz a condição de escoamento segundo a teoria da energia de distorção (critério de Von Mises).

Passo 2

Interpretação do que vamos usar (sem resolver ainda): o enunciado pede “pela teoria da energia de distorção”, ou seja, vamos aplicar o critério de Von Mises. Para isso precisamos das tensões principais no tubo cilíndrico devido à pressão interna: a tensão circunferencial (hoop) \sigma_\theta e a tensão axial \sigma_x. Assumiremos o caso de casca de parede fina (que é o procedimento padrão para caldeiras) — mais adiante verificamos se essa hipótese é válida.

Passo 3

Derivação das tensões fundamentais para tubo de parede fina:
  • Para a tensão circunferencial (hoop) \sigma_\theta: considere um pedaço de comprimento L e faça o balanço das forças na direção radial. A força resultante da pressão interna sobre a área projetada é p\cdot D\cdot L. A resistência oferecida pela parede é 2\,\sigma_\theta\,t\,L (duas metades). Igualando:
p\cdot D\cdot L = 2\,\sigma_\theta\,t\,L.
Cancelando L e isolando \sigma_\theta:
\sigma_\theta = \frac{pD}{2t}.

Passo 4

  • Para a tensão axial \sigma_x: considere o corte que separa a tampa lateral. A força interna na seção é a pressão sobre a área circular \pi r^2 (com r = D/2), ou diretamente o equilíbrio axial padrão leva a:
\sigma_x = \frac{pD}{4t}.
(Esse resultado também pode ser obtido por balanço de forças: p\cdot \pi r^2 = \sigma_x\cdot 2\pi r t, simplificando chega-se a \sigma_x = \dfrac{p r}{2 t} = \dfrac{pD}{4t}.)

Passo 5

Apresentação do critério de Von Mises (teoria da energia de distorção) para o caso de plano de tensões com duas tensões principais não nulas \sigma_1 e \sigma_2 (a terceira sendo zero para casca de parede fina):
\sigma_{\mathrm{v}}=\sqrt{\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2}-\sigma_1\sigma_2}.
Aqui \sigma_1 e \sigma_2 são as tensões principais no plano (no nosso caso: \sigma_\theta e \sigma_x). A condição de escoamento segundo Von Mises é:
\sigma_{\mathrm{v}} = \bar{S}_{yt}.
Na prática, colocamos \sigma_1=\sigma_\theta e \sigma_2=\sigma_x.

Passo 6

Substituímos as expressões de \sigma_\theta e \sigma_x na fórmula de Von Mises. Primeiro escrevemos \sigma_\theta e \sigma_x em forma \dfrac{\text{constante}}{t}:
\sigma_\theta = \frac{pD}{2t},\qquad \sigma_x = \frac{pD}{4t}.
Definimos a=\dfrac{pD}{2}, então \sigma_\theta=\dfrac{a}{t} e \sigma_x=\dfrac{a}{2t}. Agora:
\sigma_{\mathrm{v}}=\sqrt{\left(\frac{a}{t}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2t}\right)^{2}-\left(\frac{a}{t}\right)\left(\frac{a}{2t}\right)}.

Passo 7

Fatorando \dfrac{a}{t} da raiz:
\sigma_{\mathrm{v}}=\frac{a}{t}\sqrt{1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}=\frac{a}{t}\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{a}{t}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo a=\dfrac{pD}{2}:
\sigma_{\mathrm{v}}=\frac{pD}{2t}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{pD\sqrt{3}}{4t}.

Passo 8

Impondo a condição de escoamento \sigma_{\mathrm{v}}=\bar{S}_{yt} e isolando t:
\bar{S}_{yt}=\frac{pD\sqrt{3}}{4t}\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{pD\sqrt{3}}{4\bar{S}_{yt}}.

Passo 9

Agora substituímos os valores numéricos, lembrando as unidades consistentes: p e \bar{S}_{yt} em \mathrm{kgf/cm^{2}}, D em \mathrm{cm}.
p=10\\ \mathrm{kgf/cm^{2}},\qquad D=200\\ \mathrm{cm},\qquad \bar{S}_{yt}=1000\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
Então
t=\frac{10\cdot 200\cdot \sqrt{3}}{4\cdot 1000}=\frac{2000\sqrt{3}}{4000}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 10

Avaliação numérica final:
t=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \mathrm{cm}\approx 0,866\\ \mathrm{cm}.
Em milímetros isso é t\approx 8,66\\ \mathrm{mm}.

Passo 11

Verificação da hipótese de casca de parede fina: normalmente a hipótese de parede fina é válida se t \ll D (por exemplo t \le \dfrac{D}{20} é uma referência). Aqui D/20=200/20=10\\ \mathrm{cm} e t\approx 0,866\\ \mathrm{cm}, portanto a condição de parede fina é plenamente satisfeita — nosso uso das fórmulas é consistente.

Resposta

t \approx 0{,}866\\ \mathrm{cm} (≈ 8{,}66\\ \mathrm{mm})

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