Calcular, pela teoria da energia de distorção, a espessura da parede de uma caldeira cilindrica de diâmetro
, submetida a uma pressão interna de vapor,
(ou
).
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a espessura da parede de uma caldeira cilíndrica usando a teoria da energia de distorção. Dados fornecidos:
Pergunta explícita: encontrar a espessura
da parede (em cm) que satisfaz a condição de escoamento segundo a teoria da energia de distorção (critério de Von Mises).
Passo 2
Interpretação do que vamos usar (sem resolver ainda): o enunciado pede “pela teoria da energia de distorção”, ou seja, vamos aplicar o critério de Von Mises. Para isso precisamos das tensões principais no tubo cilíndrico devido à pressão interna: a tensão circunferencial (hoop)
e a tensão axial
. Assumiremos o caso de casca de parede fina (que é o procedimento padrão para caldeiras) — mais adiante verificamos se essa hipótese é válida.
Passo 3
Derivação das tensões fundamentais para tubo de parede fina:
- Para a tensão circunferencial (hoop)
: considere um pedaço de comprimento e faça o balanço das forças na direção radial. A força resultante da pressão interna sobre a área projetada é . A resistência oferecida pela parede é (duas metades). Igualando:
Cancelando
e isolando
:
Passo 4
- Para a tensão axial
: considere o corte que separa a tampa lateral. A força interna na seção é a pressão sobre a área circular (com ), ou diretamente o equilíbrio axial padrão leva a:
(Esse resultado também pode ser obtido por balanço de forças:
, simplificando chega-se a
.)
Passo 5
Apresentação do critério de Von Mises (teoria da energia de distorção) para o caso de plano de tensões com duas tensões principais não nulas
e
(a terceira sendo zero para casca de parede fina):
Aqui
e
são as tensões principais no plano (no nosso caso:
e
). A condição de escoamento segundo Von Mises é:
Na prática, colocamos
e
.
Passo 6
Substituímos as expressões de
e
na fórmula de Von Mises. Primeiro escrevemos
e
em forma
:
Definimos
, então
e
. Agora:
Passo 7
Fatorando
da raiz:
Substituindo
:
Passo 8
Impondo a condição de escoamento
e isolando
:
Passo 9
Agora substituímos os valores numéricos, lembrando as unidades consistentes:
e
em
,
em
.
Então
Passo 10
Avaliação numérica final:
Em milímetros isso é
.
Passo 11
Verificação da hipótese de casca de parede fina: normalmente a hipótese de parede fina é válida se
(por exemplo
é uma referência). Aqui
e
, portanto a condição de parede fina é plenamente satisfeita — nosso uso das fórmulas é consistente.