A posição de uma partícula que se desloca no longo do eixo dos x dependo do tempo, de acordo com a equação
x=a t^2-b t^3
onde x 6́ dado em metros e t em segundos. (a) Quais as dimensdes e as unidades de a e b? Para as questóes seguintes, considere os valores numéricos de a e b iguais a 0,90 e 0,30 , respectivamente. (b) Em que instante a partícula alcança o ponto no qual o valor de x €́ máximo? (c) Qual a distancia total percorrida pela partícula nos 4,0 s iniciais? (d) Qual o seu deslocamento nos 4,0 s iniciais? (e) Qual a velocidade da particula ao fim de cada um dos quatro primeiros segundos? (1) Qual a aceleração da partícula ao fim de cada um dos quatro primeiros segundos?

Passo 1

O enunciado fornece a posição de uma partícula ao longo do eixo x como função do tempo:
x = a,t^2 - b,t^3,
sendo x em metros e t em segundos. Pede-se:
(a) unidades e dimensões de a e b;
(b) instante em que x é máximo;
(c) distância total percorrida nos primeiros 4,0,s;
(d) deslocamento nos primeiros 4,0,s;
(e) velocidade ao fim de t=1,2,3,4,s;
(f) aceleração ao fim de t=1,2,3,4,s.
Vamos usar derivadas: v=dot x e a=dot v, e raciocínio sobre mudança de sinal de v para a distância.

Passo 2

Para que x tenha dimensão de comprimento ( L), cada termo deve ter L.
Do termo a,t^2 segue
[a], [t]^2 = L, [t]=T;Longrightarrow;[a]=L,T^-2
Do termo b,t^3 segue
[b], [t]^3 = L, [t]=T;Longrightarrow;[b]=L,T^-3
Unidades:
,a em m/s^2 e b em m/s^3.

Passo 3

A velocidade é
v(t)=dxdt=2a,t - 3b,t^2
Para achar o máximo de x, igualamos v(t)=0:
t,(2a - 3b,t)=0;Longrightarrow;t=0ou t=2a3b
Com a=0,90 e b=0,30 temos
tmax=2cdot0,903cdot0,30=1,800,90=2,0 s

Passo 4

O deslocamento em t=4,0,s é
x(4)=acdot4^2-bcdot4^3 =0,90cdot16 - 0,30cdot64 =14,4 - 19,2 =-4,8 m
Para a distância total, a partícula vai de t=0 até t=2 s subindo de 0 a
x(2)=0,90cdot4 - 0,30cdot8 =3,6 - 2,4 =1,2 m,
distância 1,2 m, e depois vai de 1,2 m até -4,8 m, percorrendo lvert1,2 - (-4,8)rvert=6,0 m. Logo a distância total é
1,2 + 6,0 = 7,2 m

Passo 5

Com a=0,90 e b=0,30 a expressão de v(t) fica
v(t)=2cdot0,90,t - 3cdot0,30,t^2 =1,8,t - 0,9,t^2
Calculando em t=1,2,3,4,s:
v(1)=1,8 - 0,9 = 0,9 m/s, v(2)=3,6 - 3,6 = 0, v(3)=5,4 - 8,1 = -2,7 m/s, v(4)=7,2 -14,4 = -7,2 m/s

Passo 6

A aceleração é
a(t)=dvdt=2a - 6b,t =2cdot0,90 - 6cdot0,30,t =1,8 - 1,8,t
Em t=1,2,3,4,s:
a(1)=1,8 - 1,8 =0, a(2)=1,8 - 3,6 = -1,8 m/s^2, a(3)=1,8 - 5,4 = -3,6 m/s^2, a(4)=1,8 - 7,2 = -5,4 m/s^2

Resposta

(a) [a]=L,T^-2 ( m/s^2), [b]=L,T^-3 ( m/s^3).
(b) tmax=2,0 s
(c) 7,2 m
(d) -4,8 m
(e) v(1)=0,9 m/s,;v(2)=0,;v(3)=-2,7 m/s,;v(4)=-7,2 m/s
(f) a(1)=0,;a(2)=-1,8 m/s^2,;a(3)=-3,6 m/s^2,;a(4)=-5,4 m/s^2

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