A posição de uma partícula no eixo x é dada por x(t)=4-27 t+t^3, com x em metros e t em segundos. Como a posição x depende do tempo t, a partícula deve estar em movimento. (a) Determine a função velocidade v(t) e a função aceleração a(t) da particula. (b) Existe algum instante para o qual v=0 ? (c) Faça um gráfico de (x times t) e diga o que acontece em t=3 s.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula no eixo x em função do tempo:
x(t)=4-27,t+t^3,
com x em metros e t em segundos. Pede-se:
– (a) a velocidade v(t) e a aceleração a(t),
– (b) se existe instante em que v=0,
– (c) o gráfico de x versus t e o que ocorre em t=3,s.
Para resolver usamos derivação: v(t)=dxdt e a(t)=dvdt.

Passo 2

Calcular a velocidade aplicando a regra do poder:
v(t)=dxdt=ddtl(4r)-ddtl(27,tr)+ddtl(t^3r) =-27+3,t^2

Passo 3

Calcular a aceleração derivando v(t):
a(t)=dvdt=ddtl(-27+3,t^2r)=6,t

Passo 4

Determinar se há t tal que v(t)=0:
-27+3,t^2=0 Longrightarrow 3,t^2=27 Longrightarrow t^2=9 Longrightarrow t=pm3
Como consideramos t>=0, o instante em que a velocidade zera é
t=3 s

Passo 5

Analisar o gráfico de x(t). É um polinômio cúbico com derivada nula em t=3, e
x(3)=4-27cdot3+3^3=4-81+27=-50 m
Para t<3, v(t)<0 a partícula se desloca no sentido negativo; em t=3 ela pára ( v=0) e, para t>3, v(t)>0 inverte o sentido e volta a crescer. Graficamente, x(t) desce até um mínimo em (3,-50) e depois sobe.

Resposta

(a) v(t)=-27+3,t^2, a(t)=6,t
(b) Sim: t=3 s (considerando t>=0).
(c) O gráfico de x versus t é um cúbico com mínimo em t=3 s; nesse instante a partícula para e inverte o sentido do movimento.

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