A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por a(t) = 2 cos(4 t) + t.
(a) Construa o gráfico da aceleração como função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos a posição e velocidade de uma partícula num certo instante, mas para este exercício específico (a), precisamos nos concentrar na aceleração dela em função do tempo. A matéria que vamos usar aqui é Cinemática, mais especificamente o estudo das funções de posição, velocidade e aceleração. Para resolver isso, vamos entender como a função de aceleração está formada e como podemos representá-la no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação da aceleração que nos foi dada:
Aqui, temos duas partes nessa função. A primeira parte, , é uma função cossenoidal que representa oscilações periódicas. A segunda parte, t, é uma função linear que aumenta constantemente com o tempo. Nosso objetivo é entender como essas duas partes se combinam para formar o gráfico da aceleração ao longo do tempo.

Passo 3

Para construir o gráfico, vamos analisar cada componente separadamente:
  1. Parte Cossenoidal ( ):
    • Amplitude: O número 2 multiplica o cosseno, então a amplitude das oscilações é 2. Isso significa que o valor da função oscilará entre -2 e .
    • Frequência Angular: O número dentro do cosseno é , o que indica que a frequência angular é 4 radianos por segundo. Isso afeta a rapidez com que as oscilações ocorrem.
    • Período: O período T da função cosseno é dado por ê segundos. Isso significa que a função completa uma oscilação completa a cada pi / 2 segundos.
  2. Parte Linear ( t):
    • Essa é uma linha reta que cresce de forma constante à medida que o tempo aumenta. Não tem oscilações, apenas aumenta sem limites.

Passo 4

Agora, para combinar essas duas partes no gráfico:
  • Comportamento Geral: A função a(t) terá uma tendência geral de aumento devido ao termo linear t, mas sobre essa tendência, haverá oscilações periódicas causadas pelo termo . Isso significa que, conforme o tempo avança, o gráfico vai subir, mas com “ondulações” ascendentes e descendentes ao longo da subida.
  • Pontos Chave:
    • Interseção com o Tempo (t): Em , .
    • Picos e Vales: As oscilações do cosseno vão adicionar e subtrair até 2 unidades do valor linear t, criando picos máximos em e vales mínimos em .

Passo 5

Para desenhar o gráfico:
  1. Eixos: Comece desenhando os eixos coordenados, com o eixo horizontal representando o tempo t e o eixo vertical representando a aceleração a(t).
  2. Traçar a Tendência Linear: Desenhe uma linha reta que começa em t = 0, a = 0 e sobe com inclinação 1, representando a parte linear t.
  3. Adicionar as Oscilações: Sobre a linha reta, desenhe as ondulações da função cosseno . Essas ondulações terão amplitude 2 e período pi / 2. Isso significa que a cada pi / 2 segundos, a função completa uma oscilação.
  4. Combinar Tudo: A função final será a linha reta com as oscilações adicionadas, resultando em uma curva que sobe constantemente, mas com oscilações periódicas ao longo do tempo.

Resposta

Prontinho! O gráfico da aceleração é uma linha reta crescente devido ao termo t, com oscilações sinusoidais adicionadas por . Isso resulta em uma curva que sobe constantemente enquanto undula ao longo do tempo.

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