Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
integral-3^0(2 x^2-3 x-4) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral definida que precisa ser calculada usando a definição da integral apresentada no Teorema 4. A integral que vamos resolver é:
integral-3^0(2 x^2-3 x-4) d x
Isso faz parte do estudo de Cálculo, especificamente de integrais. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar antiderivadas e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral definida. Basicamente, calcular uma integral definida significa encontrar a área líquida sob a curva da função entre os limites e . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, isso pode ser feito encontrando uma antiderivada de e depois avaliando nos pontos e .

Passo 3

Vamos identificar f(x) = 2x^2 - 3x - 4 na nossa integral:
Agora, precisamos encontrar uma antiderivada de , ou seja, uma função tal que .

Passo 4

Vamos calcular a antiderivada de cada termo separadamente:
  1. A antiderivada de F(x) = 23x^3 - 32x^2 - 4x + C é porque ao derivar , aplicamos a regra do expoente e obtemos .
  2. A antiderivada de é pelo mesmo motivo.
  3. A antiderivada de é , já que a derivada de é .
Então, juntando tudo:
Como estamos calculando uma integral definida, o constante se cancela, então podemos ignorá-lo.

Passo 5

Agora, segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos integral-3^0 (2x^2 - 3x - 4) dx = F(0) - F(-3) nos limites de integração e subtraímos:
Vamos calcular e .

Passo 6

Calculando F(0) = 23(0)^3 - 32(0)^2 - 4(0) = 0 - 0 - 0 = 0 :
F(-3) = 23(-3)^3 - 32(-3)^2 - 4(-3)
Calculando -18 - 13.5 + 12 = -19.5 :
Vamos resolver cada termo:
Somando tudo:

Passo 7

Finalmente, substituímos na expressão 0 - (-19.5) = 19.5 :

Resposta

O valor da integral é .

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