A posição de uma partícula ao longo do eixo 
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $ e a posição dela em função do tempo $ t $ é dada por $ x(t) = t^{2} - t^{3} $. O que precisamos fazer aqui é desenhar o gráfico dessa função no intervalo de tempo de 0 a 2 segundos. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula $ x(t) = t^{2} - t^{3} $. Essa é uma função polinomial de terceiro grau, o que significa que seu gráfico pode ter curvas interessantes, como pontos de máximo e mínimo. Para desenhar o esboço, a gente vai calcular alguns valores de $ t $ dentro do intervalo dado e ver onde a partícula está em cada um desses tempos.
Passo 3
Vamos calcular a posição da partícula para alguns valores de $ t $ entre 0 e 2 segundos. Por exemplo, vamos calcular para $ t = 0, 0.5, 1, 1.5 $ e $ 2 $ segundos.
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Para $ t = 0 $:
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Para $ t = 0.5 $:
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Para $ t = 1 $:
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Para $ t = 1.5 $:
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Para $ t = 2 $:
Passo 4
Com esses valores, podemos montar uma tabela para visualizar melhor:
| $ t $ (s) | $ x(t) $ (m) | 
|---|---|
| 0 | 0 | 
| 0.5 | 0.125 | 
| 1 | 0 | 
| 1.5 | -1.125 | 
| 2 | -4 | 
Passo 5
Agora, vamos analisar esses pontos. Vemos que a posição começa em 0, aumenta até 0.125 metros em 0.5 segundos, volta para 0 em 1 segundo, e depois desce até -4 metros em 2 segundos. Isso indica que a partícula inicialmente se move para a direita, depois volta para a esquerda.
Passo 6
Com base nesses pontos, podemos desenhar um esboço do gráfico de $ x(t) $ no intervalo de 0 a 2 segundos. O gráfico vai subir até $ t = 0.5 , s $, descer até $ t = 1 , s $, e continuar descendo até $ t = 2 , s $, passando pelos pontos calculados.
Resposta
O esboço do gráfico de $ x(t) = t^{2} - t^{3} $ no intervalo de 0 a 2 segundos mostra que a partícula começa na posição 0, alcança uma posição máxima de 0.125 metros em 0.5 segundos, retorna à posição 0 em 1 segundo e continua se movendo para a esquerda, chegando a -4 metros em 2 segundos.
