A) posição de uma partícula é \mathbf{r}=\left\{\left(3 t^{3}-2 t\right) \mathbf{i}-\right. \left.\left(4 t^{2}+t\right) \mathbf{j}+\left(3 t^{2}-2\right) \mathbf{k}\right\} \mathrm{m}, onde t é dado em segundos. Determine a intensidade da velocidade e da aceleração da particula quando t=2 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo t (em segundos):
\mathbf{r}(t) = \bigl(3t^{3}-2t\bigr)\mathbf{i} - \bigl(4t^{2}+t\bigr)\mathbf{j} + \bigl(3t^{2}-2\bigr)\mathbf{k}\\ \mathrm{m}.
Pede-se determinar a intensidade (módulo) da velocidade e da aceleração da partícula no instante t=2\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes: as componentes de \mathbf{r}(t) e que t=2\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Definição e como calcular a velocidade: a velocidade vetorial \mathbf{v}(t) é a derivada temporal da posição,
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}.
Regra prática: diferenciamos cada componente escalar de \mathbf{r}(t) separadamente. Lembrete das regras de derivação usadas aqui:
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{\,n-1}.
  • A derivada de uma constante é 0.
    Aplicando componente a componente:
  • Componente x: \dfrac{d}{dt}\bigl(3t^{3}-2t\bigr)=3\cdot 3t^{2}-2=9t^{2}-2.
  • Componente y: \dfrac{d}{dt}\bigl(-(4t^{2}+t)\bigr)=-(8t+1)=-8t-1.
  • Componente z: \dfrac{d}{dt}\bigl(3t^{2}-2\bigr)=6t.
    Logo,
\mathbf{v}(t) = \bigl(9t^{2}-2\bigr)\mathbf{i} + \bigl(-8t-1\bigr)\mathbf{j} + \bigl(6t\bigr)\mathbf{k}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Avaliar \mathbf{v}(t) em t=2\\ \mathrm{s}: substituímos t=2.
  • v_x(2)=9\cdot 2^{2}-2=9\cdot 4-2=36-2=34.
  • v_y(2)=-8\cdot 2-1=-16-1=-17.
  • v_z(2)=6\cdot 2=12.
    Portanto
\mathbf{v}(2)=34\mathbf{i}-17\mathbf{j}+12\mathbf{k}\\ \mathrm{m/s}.
Agora a intensidade (módulo) de \mathbf{v}(2) é dada por
\lVert \mathbf{v}(2)\rVert=\sqrt{v_x(2)^{2}+v_y(2)^{2}+v_z(2)^{2}}.
Calculando os quadrados e a soma:
34^{2}=1156,\quad (-17)^{2}=289,\quad 12^{2}=144,
1156+289+144=1589.
Logo
\lVert \mathbf{v}(2)\rVert=\sqrt{1589}\\ \mathrm{m/s}\approx 39,86\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Definição e como calcular a aceleração: a aceleração vetorial \mathbf{a}(t) é a derivada temporal da velocidade,
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}.
Derivamos novamente componente a componente da \mathbf{v}(t):
  • Componente x: \dfrac{d}{dt}\bigl(9t^{2}-2\bigr)=18t.
  • Componente y: \dfrac{d}{dt}\bigl(-8t-1\bigr)=-8.
  • Componente z: \dfrac{d}{dt}\bigl(6t\bigr)=6.
    Portanto
\mathbf{a}(t)=\bigl(18t\bigr)\mathbf{i}-8\mathbf{j}+6\mathbf{k}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Avaliar \mathbf{a}(t) em t=2\\ \mathrm{s}:
  • a_x(2)=18\cdot 2=36.
  • a_y(2)=-8.
  • a_z(2)=6.
    Logo
\mathbf{a}(2)=36\mathbf{i}-8\mathbf{j}+6\mathbf{k}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Intensidade de \mathbf{a}(2):
\lVert \mathbf{a}(2)\rVert=\sqrt{36^{2}+(-8)^{2}+6^{2}}.
Calculando:
36^{2}=1296,\quad (-8)^{2}=64,\quad 6^{2}=36,
1296+64+36=1396.
Portanto
\lVert \mathbf{a}(2)\rVert=\sqrt{1396}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx 37,36\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

\lVert \mathbf{v}(2)\rVert=\sqrt{1589}\\ \mathrm{m/s}\approx 39,86\\ \mathrm{m/s}
\lVert \mathbf{a}(2)\rVert=\sqrt{1396}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx 37,36\\ \mathrm{m/s^{2}}

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