A tensão admissível é de 50 MPa na barra de latão
e de 25 MPa na barra de alumínio
. Sabendo que um torque de intensidade
é aplicado em
, determine o diâmetro necessário da barra
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede: determinar o diâmetro necessário da barra
. - Dados: tensão admissível na barra de latão
é e na barra de alumínio é . - Foi aplicado um torque em
de . - Observação importante de enunciado (implícita): as barras
e transmitem o torque em série, portanto o mesmo torque atravessa a seção de . - Unidade:
. Vou trabalhar em e , então converto o torque para quando necessário.
Passo 2
Conceito físico e fórmula básica para a tensão de cisalhamento em uma barra circular sujeita a torque:
- Para uma seção circular sujeita a um torque
, a tensão de cisalhamento máxima (na superfície) é dada por
onde:
-
é a tensão de cisalhamento máxima (unidade ou ), -
é o torque aplicado (unidade ), -
é a distância do centro à superfície (para um diâmetro , , unidade ), -
é o momento polar de inércia da seção circular, dado por
unidade
.
- Substituindo
e obtemos a fórmula prática muito usada:
Explicação rápida: essa fórmula vem de substituir
e
na expressão
; é a forma que relaciona diretamente torque
com o diâmetro
para uma barra circular.
Passo 3
Condições de segurança e equação a resolver:
- A barra
não deve exceder sua tensão admissível de . Logo devemos impor
- Para encontrar o diâmetro mínimo necessário, igualamos a tensão admissível:
- Isolando
,
Aqui
deve estar em
e
, assim as unidades cancelam corretamente deixando
em
.
Passo 4
Conversão de unidades e cálculo numérico passo a passo:
- Converter o torque
para :
- Substituindo em
(observando que
), temos
- Calculemos o numerador e denominador:
- Numerador:
. - Denominador:
.
- Numerador:
- Dividindo,
- Agora extraímos a raiz cúbica para obter
:
(Cálculo da raiz cúbica mostrado de forma aproximada:
,
, então
e arredondamos para
.)
Passo 5
Interpretação e verificação rápida:
- O valor encontrado é o diâmetro mínimo teórico para que a tensão de cisalhamento em
não exceda sob o torque dado. - Se por acaso a barra
tivesse o mesmo diâmetro, sua tensão seria a mesma ( ), e como sua admissível é estaria confortável — isto só confirma que a restrição dominante foi realmente a do alumínio . - Em projeto prático costuma-se adotar um diâmetro comercial padronizado maior (por segurança e facilidade de usinagem), por exemplo
, mas o mínimo calculado é .