A tensão admissível é de 50 MPa na barra de latão A B e de 25 MPa na barra de alumínio B C. Sabendo que um torque de intensidade \boldsymbol{T}=1250 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} é aplicado em A, determine o diâmetro necessário da barra B C

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: determinar o diâmetro necessário da barra B C.
  • Dados: tensão admissível na barra de latão A B é \;50\\ \mathrm{MPa} e na barra de alumínio B C é \;25\\ \mathrm{MPa}.
  • Foi aplicado um torque em A de \;T=1250\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Observação importante de enunciado (implícita): as barras A B e B C transmitem o torque em série, portanto o mesmo torque T atravessa a seção de B C.
  • Unidade: \mathrm{MPa}=\mathrm{N/mm^{2}}. Vou trabalhar em \mathrm{N} e \mathrm{mm}, então converto o torque para \mathrm{N\cdot mm} quando necessário.

Passo 2

Conceito físico e fórmula básica para a tensão de cisalhamento em uma barra circular sujeita a torque:
  • Para uma seção circular sujeita a um torque T, a tensão de cisalhamento máxima (na superfície) é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima (unidade \mathrm{N/mm^{2}} ou \mathrm{MPa}),
  • T é o torque aplicado (unidade \mathrm{N\cdot mm}),
  • c é a distância do centro à superfície (para um diâmetro d, c=d/2, unidade \mathrm{mm}),
  • J é o momento polar de inércia da seção circular, dado por
J=\frac{\pi d^{4}}{32},
unidade \mathrm{mm^{4}}.
  • Substituindo c=d/2 e J obtemos a fórmula prática muito usada:
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Explicação rápida: essa fórmula vem de substituir c e J na expressão \tau=Tc/J; é a forma que relaciona diretamente torque T com o diâmetro d para uma barra circular.

Passo 3

Condições de segurança e equação a resolver:
  • A barra B C não deve exceder sua tensão admissível de \;25\\ \mathrm{MPa}. Logo devemos impor
\frac{16\,T}{\pi d^{3}}\le 25\\ \mathrm{MPa}.
  • Para encontrar o diâmetro mínimo necessário, igualamos a tensão admissível:
\frac{16\,T}{\pi d^{3}}=25\\ \mathrm{MPa}.
  • Isolando d^{3},
d^{3}=\frac{16\,T}{\pi\cdot 25\\ \mathrm{MPa}}.
Aqui T deve estar em \mathrm{N\cdot mm} e \mathrm{MPa}=\mathrm{N/mm^{2}}, assim as unidades cancelam corretamente deixando d em \mathrm{mm}.

Passo 4

Conversão de unidades e cálculo numérico passo a passo:
  • Converter o torque \;T=1250\\ \mathrm{N\cdot m} para \mathrm{N\cdot mm}:
T=1250\\ \mathrm{N\cdot m}=1250\times 10^{3}\\ \mathrm{N\cdot mm}=1{,}25\times 10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm}.
  • Substituindo em
d^{3}=\frac{16\,T}{\pi\cdot 25}
(observando que 25\\ \mathrm{MPa}=25\\ \mathrm{N/mm^{2}}), temos
d^{3}=\frac{16\cdot 1{,}25\times 10^{6}}{\pi\cdot 25}.
  • Calculemos o numerador e denominador:
    • Numerador: 16\cdot 1{,}25\times 10^{6}=20{,}0\times 10^{6}=2{,}0\times 10^{7}.
    • Denominador: \pi\cdot 25\approx 78{,}5398.
  • Dividindo,
d^{3}\approx \frac{2{,}0\times 10^{7}}{78{,}5398}\approx 254\,648\\ \mathrm{mm^{3}}.
  • Agora extraímos a raiz cúbica para obter d:
d\approx \sqrt[3]{254\,648}\approx 63{,}4\\ \mathrm{mm}.
(Cálculo da raiz cúbica mostrado de forma aproximada: 63^{3}=250\,047, 63{,}4^{3}\approx254\,840, então d\approx63{,}39\ldots e arredondamos para 63{,}4\\ \mathrm{mm}.)

Passo 5

Interpretação e verificação rápida:
  • O valor encontrado é o diâmetro mínimo teórico para que a tensão de cisalhamento em B C não exceda 25\\ \mathrm{MPa} sob o torque dado.
  • Se por acaso a barra A B tivesse o mesmo diâmetro, sua tensão seria a mesma ( 25\\ \mathrm{MPa}), e como sua admissível é 50\\ \mathrm{MPa} estaria confortável — isto só confirma que a restrição dominante foi realmente a do alumínio B C.
  • Em projeto prático costuma-se adotar um diâmetro comercial padronizado maior (por segurança e facilidade de usinagem), por exemplo d=64\\ \mathrm{mm}, mas o mínimo calculado é 63{,}4\\ \mathrm{mm}.

Resposta

d\approx 63{,}4\\ \mathrm{mm}

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