Obter a matriz de rigidez para um elemento finito de treliça (dois nós e um grau de liberdade por nó).

Passo 1

O que o problema pede: obter a matriz de rigidez do elemento finito de treliça com dois nós e um grau de liberdade por nó — isto é, a relação linear entre forças nodais e deslocamentos nodais do elemento. Em termos matemáticos, queremos a matriz \mathbf{k}_e tal que
\mathbf{f} = \mathbf{k}_e \,\mathbf{u},
onde \mathbf{u} = \begin{bmatrix}u_1 \\[4pt] u_2\end{bmatrix} são os deslocamentos nodais ao longo do eixo do elemento e \mathbf{f}=\begin{bmatrix}f_1\\[4pt]f_2\end{bmatrix} são as forças nodais axiais conjugadas.
Informações dadas (ou necessárias e usuais para este elemento):
  • Área da seção transversal: A.
  • Módulo de Young (rigidez axial): E.
  • Comprimento do elemento: L.
  • Dois nós com deslocamentos nodais \,u_1 e \,u_2.
    Nada mais foi pedido (por exemplo orientação espacial); aqui tratamos o elemento no seu eixo local (apenas deformação axial).]

Passo 2

Interpolação do campo de deslocamento (forma de elemento linear). Usamos uma coordenada local x que vai de 0 a L. Como há dois nós e um grau de liberdade por nó, a função deslocamento dentro do elemento é linear; escolhemos as funções de forma lineares:
N_1(x)=1-\frac{x}{L},\qquad N_2(x)=\frac{x}{L}.
O deslocamento axial em qualquer ponto x do elemento é
u(x)=N_1(x)\,u_1 + N_2(x)\,u_2.
Propriedades úteis das funções de forma: N_1(0)=1,\;N_1(L)=0,\;N_2(0)=0,\;N_2(L)=1. Elas interpolam exatamente os deslocamentos nodais.

Passo 3

Relação deformação‑deslocamento e matriz B. A deformação axial (assumindo pequeno deslocamento e pequenas deformações) é a derivada do deslocamento em relação a x:
\varepsilon(x)=\frac{du}{dx}.
Como N_1 e N_2 são lineares, suas derivadas são constantes:
\frac{dN_1}{dx}=-\frac{1}{L},\qquad \frac{dN_2}{dx}=\frac{1}{L}.
Logo a deformação é constante ao longo do elemento e pode ser escrita em forma matricial como
\varepsilon = \mathbf{B}\,\mathbf{u},
com
\mathbf{B}=\begin{bmatrix}-\dfrac{1}{L} & \dfrac{1}{L}\end{bmatrix}, \qquad \mathbf{u}=\begin{bmatrix}u_1\\[6pt]u_2\end{bmatrix},
ou explicitamente
\varepsilon=\frac{u_2-u_1}{L}.]

Passo 4

Lei constitutiva e esforço interno. Para material linear e isotrópico em tração/compressão axial usamos a lei de Hooke:
\sigma = E\,\varepsilon,
onde \sigma é a tensão axial. A força normal interna (esforço axial) vale
N = A\,\sigma = A\,E\,\varepsilon.
Esta força é constante ao longo do elemento porque \varepsilon é constante.

Passo 5

Obtenção da matriz de rigidez pelo método ener­gético (energia de deformação). A energia interna (energia de deformação) do elemento é
U=\tfrac{1}{2}\int_0^L \sigma\,\varepsilon\,A\,dx = \tfrac{1}{2}\int_0^L E A\,\varepsilon^2\,dx.
Em forma matricial, usando \varepsilon=\mathbf{B}\mathbf{u}, tem‑se
U=\tfrac{1}{2}\int_0^L \mathbf{u}^\mathrm{T}\mathbf{B}^\mathrm{T} E A \mathbf{B}\,\mathbf{u}\,dx = \tfrac{1}{2}\,\mathbf{u}^\mathrm{T}\left(\int_0^L \mathbf{B}^\mathrm{T} E A \mathbf{B}\,dx\right)\mathbf{u}.
Pelo princípio da energia, a matriz entre parênteses é a matriz de rigidez do elemento:
\mathbf{k}_e = \int_0^L \mathbf{B}^\mathrm{T} E A \mathbf{B}\,dx.

Passo 6

Cálculo explícito da integral. Como \mathbf{B} é constante em x, podemos puxá‑lo para fora da integral:
\mathbf{k}_e = E A \left(\int_0^L \mathbf{B}^\mathrm{T}\mathbf{B}\,dx\right) = E A \left( \mathbf{B}^\mathrm{T}\mathbf{B} \int_0^L 1\,dx \right) = E A\, L\, \mathbf{B}^\mathrm{T}\mathbf{B}.
Calculemos \mathbf{B}^\mathrm{T}\mathbf{B}. Lembrando \mathbf{B}=\begin{bmatrix}-1/L & 1/L\end{bmatrix},
\mathbf{B}^\mathrm{T}\mathbf{B} = \begin{bmatrix}-\dfrac{1}{L}\\[6pt]\dfrac{1}{L}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-\dfrac{1}{L} & \dfrac{1}{L}\end{bmatrix} = \frac{1}{L^2}\begin{bmatrix}1 & -1 \\[4pt] -1 & 1\end{bmatrix}.
Substituindo em \mathbf{k}_e:
\mathbf{k}_e = E A\, L \cdot \frac{1}{L^2}\begin{bmatrix}1 & -1 \\[4pt] -1 & 1\end{bmatrix} = \frac{E A}{L}\begin{bmatrix}1 & -1 \\[4pt] -1 & 1\end{bmatrix}.]

Passo 7

Interpretação e uso prático. A matriz
\mathbf{k}_e = \frac{E A}{L}\begin{bmatrix}1 & -1 \\[4pt] -1 & 1\end{bmatrix}
é simétrica, positiva semi‑definida (um autovalor zero correspondente ao modo de corpo rígido do conjunto isolado) e relaciona forças nodais axiais aos deslocamentos nodais locais por \mathbf{f}=\mathbf{k}_e\mathbf{u}. Se o elemento estiver orientado no espaço (por exemplo um barra numa treliça 2D/3D), primeiro constrói‑se \mathbf{k}_e no sistema local e depois transforma‑se para o sistema global com a transformação de direção: \mathbf{k}^{\text{global}}= \mathbf{T}^\mathrm{T}\mathbf{k}_e\mathbf{T}, onde \mathbf{T} contém os cossenos diretores do eixo do elemento.]

Resposta

\mathbf{k}_e = \frac{E A}{L}\begin{bmatrix}1 & -1 \\[4pt] -1 & 1\end{bmatrix}]

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