A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada em centímetros por
x = 9,75 + 1,50t^3, onde t está em segundos. Calcule:
a) a velocidade média entre o intervalo de tempo t = 2,00 s a t = 3,00 s
b) a velocidade instantânea em t = 2,00 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição de uma partícula em função do tempo: $ x = 9{,}75 + 1{,}50t^3 $, onde $ x $ está em centímetros e $ t $ em segundos. O que a gente precisa calcular aqui são duas coisas:
a) A velocidade média entre $ t = 2{,}00 $ s e $ t = 3{,}00 $ s.
b) A velocidade instantânea em $ t = 2{,}00 $ s.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivados para encontrar velocidades instantâneas e a fórmula da velocidade média.

Passo 2

Vamos começar pela parte a), que pede a velocidade média entre dois instantes de tempo. A velocidade média ($ v_{m} $) é definida como a variação da posição dividida pela variação do tempo. Em fórmula:
vm
Onde $ \Delta x $ é a variação da posição e $ \Delta t $ é a variação do tempo.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a posição nos instantes $ t = 2{,}00 $ s e $ t = 3{,}00 $ s usando a equação dada.
Para $ t = 2{,}00 $ s:
t = 2,00
Para $ t = 3{,}00 $ s:
t = 3,00

Passo 4

Agora que temos as posições nos dois instantes, vamos calcular a variação da posição ($ \Delta x $):
De
A variação do tempo ($ \Delta t $) é simplesmente a diferença entre os dois tempos:
De

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da velocidade média:
vm = De
Então, a velocidade média entre $ t = 2{,}00 $ s e $ t = 3{,}00 $ s é de $ 28{,}50 $ cm/s.

Passo 6

Vamos para a parte b), que pede a velocidade instantânea em $ t = 2{,}00 $ s. A velocidade instantânea ($ v $) é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
t = 2,00
Vamos derivar a função $ x(t) = 9{,}75 + 1{,}50t^3 $.

Passo 7

Derivando termo a termo:
  • A derivada de uma constante, $ 9{,}75 $, é zero.
  • A derivada de $ 1{,}50t^3 $ é $ 1{,}50 \times 3t^{2} = 4{,}50t^{2} $.
Então, a função da velocidade instantânea fica:
9,75

Passo 8

Agora, substituímos $ t = 2{,}00 $ s na expressão da velocidade instantânea:
t = 2,00
Portanto, a velocidade instantânea em $ t = 2{,}00 $ s é de $ 18{,}00 $ cm/s.

Resposta

a) A velocidade média entre $ t = 2{,}00 $ s e $ t = 3{,}00 $ s é de $ 28{,}50 $ cm/s.
b) A velocidade instantânea em $ t = 2{,}00 $ s é de $ 18{,}00 $ cm/s.

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