A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x, varia com o tempo de acordo com a expressão x(t)=8 t^{3}-3 t^{2}+7, onde x está em metros e t em segundos. O deslocamento e a velocidade média da partícula no intervalo entre t=0 e t=1 s são respectivamente dados por:
a) x=5 \mathrm{~m} e v_{m}=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
b) x=6 \mathrm{~m} e v_{m}=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
c) x=5 \mathrm{~m} e v_{m}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
d) x=3 \mathrm{~m} e v_{m}=3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá a lei do movimento
x(t)=8 t^{3}-3 t^{2}+7,
com x em \mathrm{m} e t em \mathrm{s}, e pede, no intervalo entre t=0 e t=1\\ \mathrm{s}, o deslocamento da partícula e a velocidade média. As opções apresentadas são (a), (b), (c) e (d).

Passo 2

Definimos deslocamento e velocidade média para ficar claro o que vamos calcular.
O deslocamento \Delta x entre tempos t_1 e t_2 é dado por
\Delta x = x(t_2)-x(t_1),
onde x(t) é a posição em metros no instante t (em segundos).
A velocidade média v_{m} no mesmo intervalo é definida por
v_{m}=\frac{\Delta x}{\Delta t},
onde \Delta t=t_2-t_1 é a duração do intervalo (em segundos). Aqui v_{m} tem unidade de \mathrm{m/s}.

Passo 3

Calculemos a posição inicial x(0). Substituímos t=0 em x(t):
x(0)=8\cdot 0^{3}-3\cdot 0^{2}+7 = 0-0+7 = 7.
Portanto x(0)=7\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calculemos a posição final x(1). Substituímos t=1 em x(t):
x(1)=8\cdot 1^{3}-3\cdot 1^{2}+7 = 8-3+7 = 12.
Portanto x(1)=12\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora o deslocamento \Delta x entre t=0 e t=1 é
\Delta x = x(1)-x(0)=12-7=5.
A unidade é metros, logo \Delta x=5\\ \mathrm{m}. (Deslocamento positivo indica movimento para a direção positiva do eixo x.)

Passo 6

Calculemos a velocidade média usando \Delta t=1-0=1\\ \mathrm{s}:
v_{m}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{5\\ \mathrm{m}}{1\\ \mathrm{s}}=5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Concluímos que o deslocamento é \Delta x=5\\ \mathrm{m} e a velocidade média é v_{m}=5\\ \mathrm{m/s}. Comparando com as alternativas do enunciado, isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

a) \Delta x=5\\ \mathrm{m} e v_{m}=5\\ \mathrm{m/s}

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