O problema da radiação de corpo negro foi fundamental para o surgimento da Mecânica Quântica.
a) Descreva a previsão da teoria clássica (Lei de Rayleigh-Jeans) para a densidade de energia espectral \rho(v, T) de um corpo negro.

Passo 1

O enunciado pede que eu descreva a previsão da teoria clássica — a Lei de Rayleigh–Jeans — para a densidade de energia espectral \rho(v,T) de um corpo negro. Informações relevantes fornecidas ou implícitas: (i) estamos tratando radiação eletromagnética em equilíbrio térmico (corpo negro) à temperatura T; (ii) a quantidade que queremos é a densidade de energia por unidade de frequência (ou seja, energia por unidade de volume por intervalo de frequência) que o campo eletromagnético tem quando está dentro de uma cavidade em equilíbrio; (iii) o enunciado pede a previsão clássica (antes da física quântica).

Passo 2

Contagem dos modos de onda eletromagnética numa cavidade (ideia física). Vou contar quantos modos normais (modos independentes de oscilação) existem por unidade de volume numa faixa de frequência entre \nu e \nu+d\nu. A ideia é usar o espaço de vetores de onda \mathbf{k} (espaço k-space): cada modo corresponde a um ponto discreto em k-space; no limite de grande volume podemos tratar esses pontos como contínuos e usar a densidade de estados. O número de modos com módulo do vetor de onda entre k e k+dk em um volume V é, considerando as condições de contorno,
N(k,k+dk)=\frac{V}{(2\pi)^3}\,4\pi k^2\,dk.
Explicando cada termo: \frac{V}{(2\pi)^3} é a densidade de estados no k-espaço (cada ponto ocupa um volume (2\pi)^3/V), 4\pi k^2 dk é o volume do casquinha esférico entre k e k+dk em coordenadas esféricas.

Passo 3

Incluir polarizações e passar para frequência. Campos eletromagnéticos têm duas polarizações independentes por cada modo de \mathbf{k}, logo multiplicamos por 2. Também queremos a densidade por unidade de volume, então dividimos por V. Temos assim o número de modos por unidade de volume entre k e k+dk:
\frac{dN}{V} = 2\cdot\frac{1}{(2\pi)^3}\,4\pi k^2\,dk.
Agora relacionamos k com a frequência \nu. Para ondas eletromagnéticas no vácuo
k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi \nu}{c}, \qquad dk=\frac{2\pi}{c}\,d\nu.
Substituindo k e dk na expressão de \frac{dN}{V}:
\frac{dN}{V} =2\cdot\frac{1}{(2\pi)^3}\,4\pi\left(\frac{2\pi\nu}{c}\right)^2\left(\frac{2\pi}{c}\,d\nu\right).

Passo 4

Simplificar a expressão de densidade de modos por unidade de frequência. Faço as contas passo a passo:
\frac{dN}{V} =2\cdot\frac{4\pi}{(2\pi)^3}\cdot\left(\frac{(2\pi)^2\nu^2}{c^2}\right)\cdot\left(\frac{2\pi}{c}\,d\nu\right).
Juntando potências de 2\pi:
\frac{4\pi}{(2\pi)^3}\cdot(2\pi)^2\cdot(2\pi)=\frac{4\pi\,(2\pi)^3}{(2\pi)^3}=4\pi.
Multiplicando pelo fator 2 das polarizações obtemos 8\pi. Além disso sobram \nu^2 e c^3 no denominador. Assim a densidade de modos por unidade de volume por unidade de frequência é
\frac{dN}{V\,d\nu}=\frac{8\pi\nu^2}{c^3}.
Interpretação: \frac{8\pi\nu^2}{c^3}d\nu é o número de modos (por unidade de volume) cujas frequências estão entre \nu e \nu+d\nu.

Passo 5

Energia média por modo segundo a teoria clássica (Teorema da Equipartição). A teoria clássica do gás (teorema da equipartição) diz que, em equilíbrio térmico, cada grau de liberdade quadrático tem energia média \frac{1}{2}k_{\mathrm{B}}T, onde k_{\mathrm{B}} é a constante de Boltzmann e T a temperatura. Um oscilador harmônico clássico tem duas partes quadráticas (energia cinética e energia potencial), portanto a energia média por oscilador harmônico é k_{\mathrm{B}}T. Na teoria clássica um modo eletromagnético da cavidade comporta-se como um oscilador harmônico independente, logo a energia média por modo é
\text{energia média por modo} = k_{\mathrm{B}}T.é
Aqui explicando símbolos: k_{\mathrm{B}} é a constante de Boltzmann (às vezes escrita simplesmente k); T é a temperatura absoluta em kelvin.

Passo 6

Combinar número de modos com energia por modo para obter a densidade espectral. A densidade de energia por unidade de volume por intervalo de frequência é o número de modos por unidade de volume por intervalo de frequência multiplicado pela energia média por modo:
\rho(\nu,T)=\left(\frac{8\pi\nu^2}{c^3}\right)\times k_{\mathrm{B}}T.
Portanto a Lei de Rayleigh–Jeans é
\boxed{\rho(\nu,T)=\frac{8\pi\nu^2}{c^3}\,k_{\mathrm{B}}T.}
Nesta expressão \rho(\nu,T) é a densidade de energia por unidade de volume por unidade de frequência (energia por volume por Hz), \nu é a frequência, c é a velocidade da luz no vácuo e k_{\mathrm{B}} é a constante de Boltzmann.

Passo 7

Consequência física importante (comentário didático curto). Observe que a Lei de Rayleigh–Jeans cresce como \nu^2 quando \nu aumenta, e portanto a energia total (obtida integrando \rho(\nu,T) sobre todas as frequências) diverge para altas frequências. Esse resultado contradiz observações experimentais e ficou conhecido como a “catástrofe ultravioleta”, motivando a necessidade da teoria quântica de Planck, que corrige essa previsão clássica.

Resposta

\rho(\nu,T)=\dfrac{8\pi\nu^{2}}{c^{3}}\,k_{\mathrm{B}}T

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