O problema da radiação de corpo negro foi fundamental para o surgimento da Mecânica Quântica.
a) Descreva a previsão da teoria clássica (Lei de Rayleigh-Jeans) para a densidade de energia espectral
de um corpo negro.
a) Descreva a previsão da teoria clássica (Lei de Rayleigh-Jeans) para a densidade de energia espectral
Passo 1
O enunciado pede que eu descreva a previsão da teoria clássica — a Lei de Rayleigh–Jeans — para a densidade de energia espectral
de um corpo negro. Informações relevantes fornecidas ou implícitas: (i) estamos tratando radiação eletromagnética em equilíbrio térmico (corpo negro) à temperatura
; (ii) a quantidade que queremos é a densidade de energia por unidade de frequência (ou seja, energia por unidade de volume por intervalo de frequência) que o campo eletromagnético tem quando está dentro de uma cavidade em equilíbrio; (iii) o enunciado pede a previsão clássica (antes da física quântica).
Passo 2
Contagem dos modos de onda eletromagnética numa cavidade (ideia física). Vou contar quantos modos normais (modos independentes de oscilação) existem por unidade de volume numa faixa de frequência entre
e
. A ideia é usar o espaço de vetores de onda
(espaço
-space): cada modo corresponde a um ponto discreto em
-space; no limite de grande volume podemos tratar esses pontos como contínuos e usar a densidade de estados. O número de modos com módulo do vetor de onda entre
e
em um volume
é, considerando as condições de contorno,
Explicando cada termo:
é a densidade de estados no
-espaço (cada ponto ocupa um volume
),
é o volume do casquinha esférico entre
e
em coordenadas esféricas.
Passo 3
Incluir polarizações e passar para frequência. Campos eletromagnéticos têm duas polarizações independentes por cada modo de
, logo multiplicamos por
. Também queremos a densidade por unidade de volume, então dividimos por
. Temos assim o número de modos por unidade de volume entre
e
:
Agora relacionamos
com a frequência
. Para ondas eletromagnéticas no vácuo
Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 4
Simplificar a expressão de densidade de modos por unidade de frequência. Faço as contas passo a passo:
Juntando potências de
:
Multiplicando pelo fator
das polarizações obtemos
. Além disso sobram
e
no denominador. Assim a densidade de modos por unidade de volume por unidade de frequência é
Interpretação:
é o número de modos (por unidade de volume) cujas frequências estão entre
e
.
Passo 5
Energia média por modo segundo a teoria clássica (Teorema da Equipartição). A teoria clássica do gás (teorema da equipartição) diz que, em equilíbrio térmico, cada grau de liberdade quadrático tem energia média
, onde
é a constante de Boltzmann e
a temperatura. Um oscilador harmônico clássico tem duas partes quadráticas (energia cinética e energia potencial), portanto a energia média por oscilador harmônico é
. Na teoria clássica um modo eletromagnético da cavidade comporta-se como um oscilador harmônico independente, logo a energia média por modo é
Aqui explicando símbolos:
é a constante de Boltzmann (às vezes escrita simplesmente
);
é a temperatura absoluta em kelvin.
Passo 6
Combinar número de modos com energia por modo para obter a densidade espectral. A densidade de energia por unidade de volume por intervalo de frequência é o número de modos por unidade de volume por intervalo de frequência multiplicado pela energia média por modo:
Portanto a Lei de Rayleigh–Jeans é
Nesta expressão
é a densidade de energia por unidade de volume por unidade de frequência (energia por volume por Hz),
é a frequência,
é a velocidade da luz no vácuo e
é a constante de Boltzmann.
Passo 7
Consequência física importante (comentário didático curto). Observe que a Lei de Rayleigh–Jeans cresce como
quando
aumenta, e portanto a energia total (obtida integrando
sobre todas as frequências) diverge para altas frequências. Esse resultado contradiz observações experimentais e ficou conhecido como a “catástrofe ultravioleta”, motivando a necessidade da teoria quântica de Planck, que corrige essa previsão clássica.