A posição de uma partícula que se move em movimento retilíneo no eixo
é dada pela função:
Determine a velocidade da partícula no instante
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento retilíneo! A questão nos dá a posição de uma partícula em função do tempo $ X(t) = 7,8 + 9t - 2t^{3} $ e pede para a gente encontrar a velocidade dela no instante $ t = 2 $ segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e cálculo diferencial, especificamente a derivada da posição em relação ao tempo, que nos dá a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função da posição:
Aqui, $ X(t) $ representa a posição da partícula no tempo $ t $.
Passo 3
Agora, para encontrar a velocidade, precisamos derivar $ X(t) $ em relação ao tempo $ t $. A derivada da posição em relação ao tempo nos dá a função da velocidade $ V(t) $:
Passo 4
Vamos calcular a derivada termo a termo:
- A derivada de uma constante, como 7,8, é 0.
- A derivada de $ 9t $ em relação a $ t $ é 9.
- A derivada de $ -2t^{3} $ em relação a $ t $ é $ -6t^{2} $ (usando a regra do poder: $ \frac{d}{dt} [kt^n] = nkt^{n-1} $).
Então, a função da velocidade fica:
Passo 5
Agora, substituímos $ t = 2 $ segundos na função da velocidade para encontrar a velocidade no instante desejado:
A unidade da velocidade está em metros por segundo ($ m/s $), assumindo que a posição está em metros.
Resposta
A velocidade da partícula no instante $ t = 2 $ segundos é $ -15 , m/s $.